GWCA003 問題4

解説

衝突前の各粒子の相対論的状態量

光速 $c = 8.00 \times 10^7 \text{ m/s}$c=8.00×107 m/s に対し、両粒子の速さは $v = 4.80 \times 10^7 \text{ m/s}$v=4.80×107 m/s で共通しています。 まず、速度比 $\beta$β およびローレンツ因子 $\gamma$γ を計算します。 $\beta = \frac{v}{c} = \frac{4.80 \times 10^7}{8.00 \times 10^7} = 0.60 = \frac{3}{5}$β=cv​=8.00×1074.80×107​=0.60=53​ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.36}} = \frac{1}{0.80} = 1.25 = \frac{5}{4}$γ=1−β2​1​=1−0.36​1​=0.801​=1.25=45​

これを用いて、衝突前（初期状態）の各粒子の相対論的全エネルギー $E$E および相対論的運動量ベクトル $\boldsymbol{p} = (p_x, p_y)$p=(px​,py​) を求めます。共通の係数として $c$c および静止質量の次元 $\times 10^{-27} \text{ kg}$×10−27 kg を用いて処理します。

1. 粒子 $\text{P}$P （正の質量： $M = 8.00 \times 10^{-27} \text{ kg}$M=8.00×10−27 kg）

   • 全エネルギー： $E_{\text{P}} = \gamma M c^2 = 1.25 \times (8.00 \times 10^{-27}) \times c^2 = 10.00 \times 10^{-27} c^2 \text{ [J]}$EP​=γMc2=1.25×(8.00×10−27)×c2=10.00×10−27c2 [J]
   • 運動量ベクトル（ $x$x 軸正の向き）： $p_{\text{P},x} = \gamma M v = \gamma M \beta c = 1.25 \times (8.00 \times 10^{-27}) \times 0.60 \times c = 6.00 \times 10^{-27} c \text{ [kg}\cdot\text{m/s]}$pP,x​=γMv=γMβc=1.25×(8.00×10−27)×0.60×c=6.00×10−27c [kg⋅m/s] $p_{\text{P},y} = 0$pP,y​=0 $\boldsymbol{p}_{\text{P}} = (6.00, 0) \times 10^{-27} c$pP​=(6.00,0)×10−27c

2. 粒子 $\text{N}$N （負の質量： $m = -25.00 \times 10^{-27} \text{ kg}$m=−25.00×10−27 kg）

   • 全エネルギー： $E_{\text{N}} = \gamma m c^2 = 1.25 \times (-25.00 \times 10^{-27}) \times c^2 = -31.25 \times 10^{-27} c^2 \text [J]$EN​=γmc2=1.25×(−25.00×10−27)×c2=−31.25×10−27c2[J]
   • 運動量ベクトル（ $y$y 軸負の向きに運動するため、速度の成分は負、質量も負。したがって運動量成分は正になります）： $p_{\text{N},x} = 0$pN,x​=0 $p_{\text{N},y} = \gamma m (-v) = 1.25 \times (-25.00 \times 10^{-27}) \times (-0.60 c) = +18.75 \times 10^{-27} c \text{ [kg}\cdot\text{m/s]}$pN,y​=γm(−v)=1.25×(−25.00×10−27)×(−0.60c)=+18.75×10−27c [kg⋅m/s] $\boldsymbol{p}_{\text{N}} = (0, 18.75) \times 10^{-27} c$pN​=(0,18.75)×10−27c

相対論的保存則の適用

[cite_start]衝突・合体に際して、系の「全エネルギー」および「全運動量ベクトル」がそれぞれ完全に保存されます 。合体後の複合粒子 $\text{C}$C の全エネルギーを $E_{\text{C}}$EC​、運動量ベクトルを $\boldsymbol{p}_{\text{C}}$pC​ とします。

1. エネルギー保存則: $E_{\text{C}} = E_{\text{P}} + E_{\text{N}} = (10.00 - 31.25) \times 10^{-27} c^2 = -21.25 \times 10^{-27} c^2$EC​=EP​+EN​=(10.00−31.25)×10−27c2=−21.25×10−27c2

2. 運動量保存則: $\boldsymbol{p}_{\text{C}} = \boldsymbol{p}_{\text{P}} + \boldsymbol{p}_{\text{N}} = (6.00, 18.75) \times 10^{-27} c$pC​=pP​+pN​=(6.00,18.75)×10−27c

これより、合体後の複合粒子 $\text{C}$C の運動量の大きさの二乗 $p_{\text{C}}^2$pC2​ を計算します。 $p_{\text{C}}^2 = p_{\text{C},x}^2 + p_{\text{C},y}^2 = \left( 6.00^2 + 18.75^2 \right) \times 10^{-54} c^2$pC2​=pC,x2​+pC,y2​=(6.002+18.752)×10−54c2 $6.00^2 = 36.00$6.002=36.00 $18.75^2 = 351.5625$18.752=351.5625 $p_{\text{C}}^2 = (36.00 + 351.5625) \times 10^{-54} c^2 = 387.5625 \times 10^{-54} c^2$pC2​=(36.00+351.5625)×10−54c2=387.5625×10−54c2

相対論的不変量による静止質量 $M_{\text{C}}$MC​ の決定

特殊相対性理論において、全エネルギー $E$E と運動量の大きさ $p$p の間には、以下の普遍的な不変関係式が成立します。 $\frac{E^2}{c^2} - p^2 = m_0^2 c^2$c2E2​−p2=m02​c2 複合粒子 $\text{C}$C にこの関係式を適用し、静止質量 $M_{\text{C}}$MC​ を導出します。 $\left(\frac{E_{\text{C}}}{c}\right)^2 - p_{\text{C}}^2 = M_{\text{C}}^2 c^2$(cEC​​)2−pC2​=MC2​c2

左辺の各項に、求めた保存量を代入します（共通因数の $10^{-54} c^2$10−54c2 を外に出して計算します）。 $\left(\frac{E_{\text{C}}}{c}\right)^2 = (-21.25 \times 10^{-27} c)^2 = 451.5625 \times 10^{-54} c^2$(cEC​​)2=(−21.25×10−27c)2=451.5625×10−54c2 $p_{\text{C}}^2 = 387.5625 \times 10^{-54} c^2$pC2​=387.5625×10−54c2

これらを不変量の式に代入して差を求めます。 $M_{\text{C}}^2 c^2 = (451.5625 - 387.5625) \times 10^{-54} c^2 = 64.0000 \times 10^{-54} c^2$MC2​c2=(451.5625−387.5625)×10−54c2=64.0000×10−54c2

両辺を $c^2$c2 で割ることで、複合粒子の静止質量の二乗が一意に決定されます。 $M_{\text{C}}^2 = 64.00 \times 10^{-54} \text{ kg}^2$MC2​=64.00×10−54 kg2

ここで、合体後の全エネルギー $E_{\text{C}}$EC​ が負（ $-21.25 \times 10^{-27} c^2$−21.25×10−27c2 ）であるため、この複合粒子は負のエネルギー状態、すなわち「負の静止質量」を持つ粒子となります（ $M_{\text{C}} < 0$MC​<0 ）。したがって、平方根を解くと静止質量は以下の通りになります。 $M_{\text{C}} = -8.00 \times 10^{-27} \text{ kg}$MC​=−8.00×10−27 kg

自然数化

得られた静止質量 $M_{\text{C}} = -8.00 \times 10^{-27} \text{ kg}$MC​=−8.00×10−27 kg を $M_{\text{C}} = A_0 \times 10^{-27} \text{ kg}$MC​=A0​×10−27 kg の形式と比較すると、整数 $A_0$A0​ の値は次のようになります。 $A_0 = -8$A0​=−8

$A_0$A0​ は負の数であるため、入力形式に指定された以下の規則を適用します。

• $A_0$A0​ が負の数の場合： $-100 A_0$−100A0​

[cite_start]値を代入して最終的な自然数を算出します 。 $-10 \times (-8) = 800$−10×(−8)=800

解答：800