GWCA003 問題2

解説

各粒子の運動方程式と加速度

$x$x 軸の正の向きに強さ $E$E の一様な電場が存在するため、電荷が電場から受ける力は、その電荷の符号が正であれば $x$x 軸の正の向きに働きます。

正の質量を持つ粒子 $\text{P}$P の運動方程式は次のようになります。

$$M a_\text{P} = QE$$MaP​=QE

したがって、粒子 $\text{P}$P の加速度 $a_\text{P}$aP​ は次の通りです。

$$a_\text{P} = \frac{QE}{M}$$aP​=MQE​

$M > 0, Q > 0, E > 0$M>0,Q>0,E>0 であるため、 $a_\text{P} > 0$aP​>0 となり、粒子 $\text{P}$P は $x$x 軸の正の向きに加速します。

一方、負の質量を持つ粒子 $\text{N}$N の運動方程式は次のようになります。

$$m a_\text{N} = qE$$maN​=qE

したがって、粒子 $\text{N}$N の加速度 $a_\text{N}$aN​ は次の通りです。

$$a_\text{N} = \frac{qE}{m}$$aN​=mqE​

ここで、粒子 $\text{N}$N の質量は $m < 0$m<0 であり、求める電荷は $q > 0$q>0 であるため、加速度は $a_\text{N} < 0$aN​<0 となります。つまり、粒子 $\text{N}$N は $x$x 軸の正の向き（電場の向き）に力を受けているにもかかわらず、質量が負であるために $x$x 軸の負の向きへと加速していくという運動を始めます。

任意の時刻における速度

両粒子とも時刻 $t = 0$t=0 において静止していたため、任意の時刻 $t$t におけるそれぞれの速度 $v_\text{P}, v_\text{N}$vP​,vN​ は、加速度に時間を掛けることで次のように表されます。

$$v_\text{P} = a_\text{P} t = \frac{QE}{M} t$$vP​=aP​t=MQE​t $$v_\text{N} = a_\text{N} t = \frac{qE}{m} t$$vN​=aN​t=mqE​t

運動エネルギーの総和に関する条件

各粒子の運動エネルギーの定義式 $K = \frac{1}{2} m v^2$K=21​mv2 をそのまま適用します。 粒子 $\text{P}$P の運動エネルギー $K_\text{P}$KP​ は次のようになります。

$$K_\text{P} = \frac{1}{2} M v_\text{P}^2 = \frac{1}{2} M \left( \frac{QE}{M} t \right)^2 = \frac{Q^2 E^2}{2M} t^2$$KP​=21​MvP2​=21​M(MQE​t)2=2MQ2E2​t2

粒子 $\text{N}$N の運動エネルギー $K_\text{N}$KN​ は次のようになります。

$$K_\text{N} = \frac{1}{2} m v_\text{N}^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{qE}{m} t \right)^2 = \frac{q^2 E^2}{2m} t^2$$KN​=21​mvN2​=21​m(mqE​t)2=2mq2E2​t2

ここで、 $m < 0$m<0 であるため、粒子 $\text{N}$N の運動エネルギー $K_\text{N}$KN​ は速度を持てば持つほどマイナスに大きくなります。

問題の条件より、任意の時刻 $t$t において運動エネルギーの総和が $0$0 に保たれるため、次の関係式が成り立ちます。

$$K_\text{P} + K_\text{N} = 0$$KP​+KN​=0 $$\frac{Q^2 E^2}{2M} t^2 + \frac{q^2 E^2}{2m} t^2 = 0$$2MQ2E2​t2+2mq2E2​t2=0

この式が任意の時刻 $t$t で成立するためには、 $t^2$t2 および共通の係数 $\frac{E^2}{2}$2E2​ を除いた以下の関係式が導かれます。

$$\frac{Q^2}{M} + \frac{q^2}{m} = 0$$MQ2​+mq2​=0 $$\frac{q^2}{m} = -\frac{Q^2}{M}$$mq2​=−MQ2​

両辺に $m$m を掛けます。 $m < 0$m<0 であるため、右辺は正の値になります。

$$q^2 = -\frac{m}{M} Q^2 = \frac{|m|}{M} Q^2$$q2=−Mm​Q2=M∣m∣​Q2

$q > 0$q>0 より、平方根をとることで電荷 $q$q の満たすべき条件が得られます。

$$q = Q \sqrt{\frac{|m|}{M}}$$q=QM∣m∣​​

数値の代入と自然数化

制約に示された各数値を代入します。

$$\frac{|m|}{M} = \frac{3.00 \times 10^{-27}}{2.00 \times 10^{-27}} = \frac{3}{2}$$M∣m∣​=2.00×10−273.00×10−27​=23​

これより、

$$q = 1.60 \times 10^{-19} \times \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{8}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times 10^{-19} = \frac{8\sqrt{3}}{5\sqrt{2}} \times 10^{-19} \text{ C}$$q=1.60×10−19×23​​=58​×2​3​​×10−19=52​83​​×10−19 C

分母を有利化します。分子と分母に $\sqrt{2}$2​ を掛けることで、分数部分を整理します。

$$q = \frac{8\sqrt{6}}{5 \times 2} \times 10^{-19} = \frac{8\sqrt{6}}{10} \times 10^{-19} = \frac{4\sqrt{6}}{5} \times 10^{-19} \text{ C}$$q=5×286​​×10−19=1086​​×10−19=546​​×10−19 C

この結果を、入力形式で指定された $q = \frac{A_0\sqrt{B_0}}{C_0} \times 10^{-19} \text{ C}$q=C0​A0​B0​​​×10−19 C の形と比較します。

$$A_0 = 4, \quad B_0 = 6, \quad C_0 = 5$$A0​=4,B0​=6,C0​=5

ここで、 $B_0 = 6$B0​=6 はこれ以上簡単にならない整数であり、 $\frac{A_0}{C_0} = \frac{4}{5}$C0​A0​​=54​ は互いに素な既約分数であるため、すべての指定を満たしています。

指定された演算 $(A_0^2 \times B_0) \times C_0^3$(A02​×B0​)×C03​ を実行します。

$$A_0^2 \times B_0 = 4^2 \times 6 = 16 \times 6 = 96$$A02​×B0​=42×6=16×6=96 $$C_0^3 = 5^3 = 125$$C03​=53=125

したがって、求める自然数は次の通りになります。

$$(A_0^2 \times B_0) \times C_0^3 = 96 \times 125 = 12,000$$(A02​×B0​)×C03​=96×125=12,000

解答：12000