GWCA001 問題4

解説

誘導起電力と回路方程式

導体棒が右向きに速さ $v$v で運動しているとき、電磁誘導によって導体棒に生じる誘導起電力の大きさ $V$V は次のように表されます。

$V = vBL$V=vBL

レンツの法則および右ねじの法則より、この誘導起電力は回路を反時計回りに流そうとする向きに生じます。回路を流れる電流を $I$I、コンデンサーに蓄えられている電荷を $q$q とすると、キルヒホッフの第2法則（回路方程式）は次のように成り立ちます。

$vBL - \frac{q}{C} - RI = 0$vBL−Cq​−RI=0

運動方程式と時間の経過

電流 $I$I が導体棒を流れるとき、導体棒は磁場から左向き（運動を妨げる向き）に大きさ $F_A = IBL$FA​=IBL のアンペール力を受けます。したがって、導体棒の運動方程式は次のようになります。

$m \frac{dv}{dt} = F - IBL$mdtdv​=F−IBL

ここで、回路方程式の両辺を時間 $t$t で微分します。電流と電荷の関係 $I = \frac{dq}{dt}$I=dtdq​ を用いると、次式が得られます。

$BL \frac{dv}{dt} - \frac{I}{C} - R \frac{dI}{dt} = 0$BLdtdv​−CI​−RdtdI​=0

十分な時間が経過すると、電流の大きさは一定値 $I$I に近づくため、電流の時間変化率は無視できるようになります（$\frac{dI}{dt} \to 0$dtdI​→0）。また、このとき導体棒の加速度 $\frac{dv}{dt}$dtdv​ も一定値 $a$a に近づきます。 これより、上記の微分した回路方程式は次の関係に落ち着きます。

$BLa - \frac{I}{C} = 0 \implies a = \frac{I}{CBL}$BLa−CI​=0⟹a=CBLI​

電流の算出

このときの運動方程式は $ma = F - IBL$ma=F−IBL と表されるため、求めた加速度 $a$a を代入します。

$m \left( \frac{I}{CBL} \right) = F - IBL$m(CBLI​)=F−IBL

両辺に $CBL$CBL を掛けて $I$I について整理します。

$mI = FCBL - ICB^2L^2$mI=FCBL−ICB2L2

$I(m + CB^2L^2) = FCBL$I(m+CB2L2)=FCBL

$I = \frac{FCBL}{m + CB^2L^2}$I=m+CB2L2FCBL​

数値代入

与えられた制約の数値を代入して計算します。

• 分母の項： $CB^2L^2 = 0.500 \times 2.00^2 \times 0.400^2 = 0.500 \times 4.00 \times 0.160 = 0.320 \text{ kg}$CB2L2=0.500×2.002×0.4002=0.500×4.00×0.160=0.320 kg
• 分母全体： $m + CB^2L^2 = 0.200 + 0.320 = 0.520 \text{ kg}$m+CB2L2=0.200+0.320=0.520 kg
• 分子の項： $FCBL = 3.00 \times 0.500 \times 2.00 \times 0.400 = 1.20 \text{ A}\cdot\text{kg}$FCBL=3.00×0.500×2.00×0.400=1.20 A⋅kg

したがって、電流 $I$I は次のようになります。 $I = \frac{1.20}{0.520} = \frac{120}{52} = \frac{30}{13} \text{ A}$I=0.5201.20​=52120​=1330​ A

これを既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と比較すると、$p = 30$p=30、$q = 13$q=13 となります。 求める値は $p + q = 30 + 13 = 43$p+q=30+13=43 です。

解答：43