GWCA001 問題3

解説

状態1：スイッチを端子 $\text{a}$a に接続したとき

スイッチ $\text{S}$S を端子 $\text{a}$a に接続すると、電源、抵抗器 $\text{R}_1$R1​、コンデンサー $\text{C}_1$C1​、およびグランドを結ぶ直列の充電回路が形成されます。このとき、コンデンサー $\text{C}_2$C2​ はスイッチから切り離されており、電荷は $0$0 のままです。

十分に長い時間が経過すると、コンデンサー $\text{C}_1$C1​ への充電が完了して電流が流れなくなります。このとき、コンデンサー $\text{C}_1$C1​ の極板間電圧は電源の起電力 $V$V と等しくなるため、蓄えられる電荷 $Q_0$Q0​ および静電エネルギー $U_1$U1​ は次のようになります。 $Q_0 = C_1 V$Q0​=C1​V $U_1 = \frac{1}{2} C_1 V^2$U1​=21​C1​V2

状態2：スイッチを端子 $\text{b}$b に切り替えたとき

スイッチ $\text{S}$S を端子 $\text{b}$b 側に切り替えると、電源および抵抗器 $\text{R}_1$R1​ を含む経路は完全に孤立し、回路の動作に関与しなくなります。新しく形成される回路は、電荷 $Q_0$Q0​ を持ったコンデンサー $\text{C}_1$C1​、抵抗器 $\text{R}_2$R2​、および電荷を持たないコンデンサー $\text{C}_2$C2​ が直列に結ばれた閉回路（放電および電荷共有回路）になります。

十分に長い時間が経過すると、電流が収まるとともに2つのコンデンサーの電位差が等しくなり、平衡状態に達します。このときの共通の電位差を $V_f$Vf​ とすると、孤立した極板系の電荷の総量は保存される（電荷保存則）ため、次の関係式が成り立ちます。 $Q_0 = C_1 V = (C_1 + C_2) V_f$Q0​=C1​V=(C1​+C2​)Vf​

これより、変化後の共通の電位差 $V_f$Vf​ は以下のように求まります。 $V_f = \frac{C_1}{C_1 + C_2} V$Vf​=C1​+C2​C1​​V

静電エネルギーの変化とジュール熱

平衡状態において、2つのコンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの合計 $U_2$U2​ は次のようになります。 $U_2 = \frac{1}{2} C_1 V_f^2 + \frac{1}{2} C_2 V_f^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V_f^2$U2​=21​C1​Vf2​+21​C2​Vf2​=21​(C1​+C2​)Vf2​

ここに先ほど求めた $V_f$Vf​ を代入して整理します。 $U_2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} V \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{C_1^2}{C_1 + C_2} V^2$U2​=21​(C1​+C2​)(C1​+C2​C1​​V)2=21​C1​+C2​C12​​V2

この切り替えの過程において、回路に含まれる抵抗は抵抗器 $\text{R}_2$R2​ のみです。したがって、エネルギー保存則（減少した静電エネルギーのすべてがジュール熱に変わる）より、抵抗器 $\text{R}_2$R2​ で発生したジュール熱の総量 $Q_2$Q2​ は、初期の静電エネルギー $U_1$U1​ と最終的な静電エネルギー $U_2$U2​ の差として求められます。 $Q_2 = U_1 - U_2 = \frac{1}{2} C_1 V^2 - \frac{1}{2} \frac{C_1^2}{C_1 + C_2} V^2$Q2​=U1​−U2​=21​C1​V2−21​C1​+C2​C12​​V2 $Q_2 = \frac{1}{2} C_1 V^2 \left( 1 - \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} V^2$Q2​=21​C1​V2(1−C1​+C2​C1​​)=21​C1​+C2​C1​C2​​V2

数値代入

与えられた制約の数値を式に代入して計算します。抵抗値 $R_1, R_2$R1​,R2​ は十分な時間が経過した後のエネルギー変化量には依存しないため、ジュール熱の総量計算には直接使用しません。 $Q_2 = \frac{1}{2} \times \frac{3.00 \times 2.00}{3.00 + 2.00} \times 50.0^2$Q2​=21​×3.00+2.003.00×2.00​×50.02 $Q_2 = \frac{1}{2} \times \frac{6.00}{5.00} \times 2500$Q2​=21​×5.006.00​×2500 $Q_2 = \frac{1}{2} \times 1.20 \times 2500 = 0.600 \times 2500 = 1500 \text{ J}$Q2​=21​×1.20×2500=0.600×2500=1500 J

求める自然数は $1500$1500 です。

解答：1500