GWCA001 問題2

解説

初期状態と変化後の静電容量・電荷

極板間隔が $d$d のときのコンデンサーの静電容量を $C_1$C1​、蓄えられている電荷の大きさを $Q_1$Q1​ とします。 $C_1 = \varepsilon_0 \frac{S}{d}$C1​=ε0​dS​ $Q_1 = C_1 V = \varepsilon_0 \frac{SV}{d}$Q1​=C1​V=ε0​dSV​

極板間隔を $3d$3d に広げたときの静電容量を $C_2$C2​、蓄えられている電荷の大きさを $Q_2$Q2​ とします。電源に接続されたままであるため、電圧 $V$V は一定です。 $C_2 = \varepsilon_0 \frac{S}{3d} = \frac{1}{3} C_1$C2​=ε0​3dS​=31​C1​ $Q_2 = C_2 V = \varepsilon_0 \frac{SV}{3d} = \frac{1}{3} Q_1$Q2​=C2​V=ε0​3dSV​=31​Q1​

電源がされた仕事

極板の間隔を広げることで、コンデンサーの電荷は $Q_1$Q1​ から $Q_2$Q2​ へと減少します。この減少した分の電荷 $\Delta Q$ΔQ は、正極板から電源の正極側へと逆流します。 $\Delta Q = Q_1 - Q_2 = \frac{2}{3} Q_1 = \frac{2\varepsilon_0 SV}{3d}$ΔQ=Q1​−Q2​=32​Q1​=3d2ε0​SV​

電荷が電源の電圧 $V$V に逆らって正極に流れ込むため、電源は電気的エネルギーを吸収します。したがって、電源がされた仕事 $W$W は次のように求められます。 $W = \Delta Q \times V = \frac{2\varepsilon_0 SV^2}{3d}$W=ΔQ×V=3d2ε0​SV2​

数値代入

与えられた制約の数値を式に代入します。 $W = \frac{2 \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 0.200 \times 300^2}{3 \times (2.00 \times 10^{-3})}$W=3×(2.00×10−3)2×(8.85×10−12)×0.200×3002​

分子と分母の各数値を整理して計算します。

• $V^2 = 300^2 = 9.00 \times 10^4$V2=3002=9.00×104
• 分子： $2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.200 \times 9.00 \times 10^4 = 31.86 \times 10^{-8} = 3.186 \times 10^{-7}$2×8.85×10−12×0.200×9.00×104=31.86×10−8=3.186×10−7
• 分母： $3 \times 2.00 \times 10^{-3} = 6.00 \times 10^{-3}$3×2.00×10−3=6.00×10−3

これらより、仕事 $W$W を算出します。 $W = \frac{3.186 \times 10^{-7}}{6.00 \times 10^{-3}} = 0.531 \times 10^{-4} = 5.31 \times 10^{-5} \text{ J}$W=6.00×10−33.186×10−7​=0.531×10−4=5.31×10−5 J

入力形式は $A \times 10^{-7} \text{ J}$A×10−7 J であるため、桁数を合わせます。 $5.31 \times 10^{-5} = 531 \times 10^{-7} \text{ J}$5.31×10−5=531×10−7 J

したがって、係数 $A$A は $531$531 となります。

解答：531