GWCA001 問題1

解説

誘導起電力と電流の立式

導体棒がレールに沿って下向きに速さ $v$v で運動しているとき、導体棒が磁線を横切ることで電磁誘導が起こります。導体棒に生じる誘導起電力の大きさ $V$V は次のように表されます。 $V = vBL$V=vBL

レンツの法則より、この起電力は磁束の変化を妨げる向き（上から見て反時計回り）に電流を流そうとします。抵抗器の抵抗値が $R$R であり、その他の抵抗は無視できるため、オームの法則より回路を流れる電流の大きさ $I$I は次のようになります。 $I = \frac{V}{R} = \frac{vBL}{R}$I=RV​=RvBL​

導体棒が受ける力と運動方程式

電流 $I$I が流れる導体棒は、磁場からアンペール力（電磁気力）を受けます。フレミングの左手の法則より、この力の向きは斜面に沿って上向きとなります。その大きさ $F_A$FA​ は次のように表されます。 $F_A = IBL = \frac{vB^2L^2}{R}$FA​=IBL=RvB2L2​

導体棒には、斜面平行下向きに重力の成分 $mg \sin\theta$mgsinθ が働いています。したがって、導体棒の斜面下向きを正とする運動方程式は次のようになります。 $m \frac{dv}{dt} = mg \sin\theta - \frac{vB^2L^2}{R}$mdtdv​=mgsinθ−RvB2L2​

等速直線運動時の速度の算出

十分な時間が経過すると、導体棒は一定の速度で等速直線運動をするようになります。このとき加速度は $0$0 （$\frac{dv}{dt} = 0$dtdv​=0）となるため、斜面方向の力がつり合います。 $mg \sin\theta - \frac{vB^2L^2}{R} = 0$mgsinθ−RvB2L2​=0

この式を $v$v について解きます。 $v = \frac{mgR \sin\theta}{B^2L^2}$v=B2L2mgRsinθ​

数値代入

与えられた制約の数値を代入して計算します。$\sin 30.0^\circ = 0.500$sin30.0∘=0.500 であることに注意します。 $v = \frac{0.200 \times 9.80 \times 4.00 \times 0.500}{0.700^2 \times 1.00^2}$v=0.7002×1.0020.200×9.80×4.00×0.500​

分子と分母をそれぞれ計算します。

• 分子： $0.200 \times 9.80 \times 4.00 \times 0.500 = 3.92$0.200×9.80×4.00×0.500=3.92
• 分母： $0.700^2 \times 1.00^2 = 0.490$0.7002×1.002=0.490

したがって、速度 $v$v は次のようになります。 $v = \frac{3.92}{0.490} = 8.00 \text{ m/s}$v=0.4903.92​=8.00 m/s

入力すべき自然数は $8$8 です。

解答：8