GSO012 問題5

位置Aにおける運動エネルギー

電子の電気量を $-e$−e とします。ただし $e>0$e>0 です。

電位 $V$V にある電子の電気的位置エネルギーは、

$$U=-eV$$U=−eV

です。

電子は電位 $-V_{\mathrm a}$−Va​ の陰極から、電位 $0\,\mathrm{V}$0V の位置Aまで移動します。衝突や放射によるエネルギー損失を無視できるため、位置エネルギーの減少分だけ運動エネルギーが増加します。

したがって、位置Aにおける運動エネルギー $K_1$K1​ は、

$$K_1=eV_{\mathrm a}$$K1​=eVa​

です。

よって、

$$K_1=96\,\mathrm{eV}$$K1​=96eV

となります。

試料表面直前での運動エネルギー

電子は位置Aから、電位 $-V_{\mathrm r}$−Vr​ の試料へ向かいます。

この移動では電位が $V_{\mathrm r}$Vr​ だけ低下するため、負電荷をもつ電子の電気的位置エネルギーは増加し、その分だけ運動エネルギーが減少します。

したがって、

$$K_2 = eV_{\mathrm a}-eV_{\mathrm r} = e(V_{\mathrm a}-V_{\mathrm r})$$K2​=eVa​−eVr​=e(Va​−Vr​)

です。

数値を代入すると、

$$K_2 = (96-37)\,\mathrm{eV} = 59\,\mathrm{eV}$$K2​=(96−37)eV=59eV

となります。

$V_{\mathrm r}<V_{\mathrm a}$Vr​<Va​ なので $K_2>0$K2​>0 であり、電子は減速されながらも試料まで到達できます。

ド・ブロイ波長との関係

電子の運動量の大きさを $P$P とすると、ド・ブロイ波長は、

$$\lambda=\frac{h}{P}$$λ=Ph​

です。

非相対論的な運動では、

$$K=\frac{P^2}{2m}$$K=2mP2​

なので、

$$P^2=2mK$$P2=2mK

です。

したがって、

$$\lambda^2 = \frac{h^2}{P^2} = \frac{h^2}{2mK}$$λ2=P2h2​=2mKh2​

となります。

同じ電子について比較するので、

$$\lambda^2\propto\frac{1}{K}$$λ2∝K1​

です。

よって、

$$\frac{\lambda_2^2}{\lambda_1^2} = \frac{K_1}{K_2} = \frac{96}{59}$$λ12​λ22​​=K2​K1​​=5996​

となります。

$96$96 と $59$59 は互いに素なので、

$$p=96,\qquad q=59$$p=96,q=59

です。

したがって、

$$p+q=96+59=155$$p+q=96+59=155

となります。

入力すべき自然数は、

$$\boxed{155}$$155​

です。