GSO011 問題5

弦の張力と振動数の関係

弦の基本振動数は、

$$f= \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$$f=2L1​μT​​

で表されます。

ここで、$L$L は弦の長さ、$\mu$μ は線密度、$T$T は張力です。

各弦について、調律の前後で $L$L と $\mu$μ は変化しないため、

$$f\propto\sqrt{T}$$f∝T​

です。

したがって、

$$T\propto f^2$$T∝f2

となり、同じ弦について調律前後の張力比は周波数比の2乗から求められます。

12平均律の周波数比

1半音上がるごとの周波数比を $r$r とします。

12半音上がると周波数は2倍になるため、

$$r^{12}=2$$r12=2

です。

よって、

$$r=2^{1/12}$$r=21/12

となります。

C♯5の張力比

C♯5はA4から4半音上にあります。

したがって、12平均律におけるC♯5の周波数を $f_1$f1​ とすると、

$$f_1 = 440\times2^{4/12} = 440\times2^{1/3}$$f1​=440×24/12=440×21/3

です。

純正律では、

$$A4:C♯5=4:5$$A4:C♯5=4:5

なので、調律後のC♯5の周波数を $f_3$f3​ とすると、

$$f_3 = 440\times\frac{5}{4}$$f3​=440×45​

です。

同じ弦では張力が周波数の2乗に比例するため、

$$\frac{T_3}{T_1} = \left( \frac{f_3}{f_1} \right)^2$$T1​T3​​=(f1​f3​​)2

です。

したがって、

$$\begin{aligned} \frac{T_3}{T_1} &= \left( \frac{5/4}{2^{1/3}} \right)^2\\ &= \frac{25}{16\times2^{2/3}}\\ &= \frac{5^2}{2^{14/3}} \end{aligned}$$T1​T3​​​=(21/35/4​)2=16×22/325​=214/352​​

となります。

E5の張力比

E5はA4から7半音上にあります。

したがって、12平均律におけるE5の周波数を $f_2$f2​ とすると、

$$f_2 = 440\times2^{7/12}$$f2​=440×27/12

です。

純正律では、

$$A4:E5=2:3$$A4:E5=2:3

なので、調律後のE5の周波数を $f_4$f4​ とすると、

$$f_4 = 440\times\frac{3}{2}$$f4​=440×23​

です。

よって、

$$\frac{T_4}{T_2} = \left( \frac{f_4}{f_2} \right)^2$$T2​T4​​=(f2​f4​​)2

より、

$$\begin{aligned} \frac{T_4}{T_2} &= \left( \frac{3/2}{2^{7/12}} \right)^2\\ &= \frac{9}{4\times2^{7/6}}\\ &= \frac{3^2}{2^{19/6}} \end{aligned}$$T2​T4​​​=(27/123/2​)2=4×27/69​=219/632​​

となります。

入力値

以上より、

$$a=2, \qquad b=14, \qquad c=3,$$a=2,b=14,c=3, $$d=2, \qquad e=19, \qquad f=6$$d=2,e=19,f=6

です。

したがって、

$$\begin{aligned} a+b+c+d+e+f &=2+14+3+2+19+6\\ &=46 \end{aligned}$$a+b+c+d+e+f​=2+14+3+2+19+6=46​

となります。

入力する自然数は $46$46 です。