GSO011 問題4

ばねの上端は固定されています。

ばねが自然長から $x$ だけ伸びると、物体は自然長のときの位置より $x$ だけ下にあるので、物体の高さは

h=-x

となります。

したがって、はじめとあとの高さはそれぞれ、

h_1=-x_1,\qquad h_2=-x_2

です。

重力による位置エネルギーは $mgh$ で表されるので、その変化は、

\begin{aligned} \Delta U_{\mathrm g} &=mgh_2-mgh_1\\ &=mg(-x_2)-mg(-x_1)\\ &=-mg(x_2-x_1) \end{aligned}

となります。

数値を代入すると、

\begin{aligned} \Delta U_{\mathrm g} &=-1.5\times9.8\times(0.29-0.11)\\ &=-2.646\,\mathrm{J} \end{aligned}

です。

物体は下がっているため、重力による位置エネルギーは減少しています。

ばねの弾性力による位置エネルギーは、

U_{\mathrm s}=\frac{1}{2}kx^2

で表されます。

したがって、その変化は、

\begin{aligned} \Delta U_{\mathrm s} &=\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{1}{2}kx_1^2\\ &=\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2) \end{aligned}

です。

数値を代入すると、

\begin{aligned} \Delta U_{\mathrm s} &=\frac{1}{2}\times120 \left(0.29^2-0.11^2\right)\\ &=4.32\,\mathrm{J} \end{aligned}

となります。

ばねの伸びが大きくなっているため、弾性力による位置エネルギーは増加しています。

したがって、

\begin{aligned} \Delta U &=\Delta U_{\mathrm g}+\Delta U_{\mathrm s}\\ &=-2.646+4.32\\ &=1.674\,\mathrm{J} \end{aligned}

となります。

入力形式より、

1.674\,\mathrm{J} =\frac{1674}{1000}\,\mathrm{J}

なので、

A=1674

です。

物体は下がっているため重力による位置エネルギーは減少しますが、それよりもばねの弾性力による位置エネルギーの増加が大きいため、2つの位置エネルギーの和は増加します。

したがって、入力すべき自然数は 1674 です。

下げたのに増える位置エネルギー