GSO010 問題10

位置演算子の無次元化

生成消滅演算子の定義を加えると、

$$a+a^\dagger = 2\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,\hat x$$a+a†=22ℏmω​​x^

です。

したがって、

$$\hat x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left(a+a^\dagger\right)$$x^=2mωℏ​​(a+a†)

を得ます。

ここで、

$$x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}, \qquad Q=a+a^\dagger$$x0​=2mωℏ​​,Q=a+a†

とおけば、

$$\hat x=x_0Q$$x^=x0​Q

であり、

$$\hat x^4=x_0^4Q^4$$x^4=x04​Q4

です。

したがって、$M(t)$M(t) の最大値と最小値の比を求めるには、無次元量

$$\langle Q^4\rangle_t$$⟨Q4⟩t​

だけを調べれば十分です。

$Q^2$Q2 の作用

生成消滅演算子の作用から、

$$Q|n\rangle = \sqrt n\,|n-1\rangle + \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle$$Q∣n⟩=n​∣n−1⟩+n+1​∣n+1⟩

です。

もう一度 $Q$Q を作用させると、

$$Q^2|n\rangle = \sqrt{n(n-1)}\,|n-2\rangle + (2n+1)|n\rangle + \sqrt{(n+1)(n+2)}\,|n+2\rangle$$Q2∣n⟩=n(n−1)​∣n−2⟩+(2n+1)∣n⟩+(n+1)(n+2)​∣n+2⟩

を得ます。

$Q^4$Q4 の必要な行列要素は、この式をさらに一度 $Q^2$Q2 で作用させることで求められます。

対角要素は、

$$\langle n|Q^4|n\rangle = n(n-1)+(2n+1)^2+(n+1)(n+2)$$⟨n∣Q4∣n⟩=n(n−1)+(2n+1)2+(n+1)(n+2)

なので、

$$\langle n|Q^4|n\rangle = 6n^2+6n+3$$⟨n∣Q4∣n⟩=6n2+6n+3

です。

したがって、

$$\begin{aligned} \langle0|Q^4|0\rangle&=3,\\ \langle2|Q^4|2\rangle&=39,\\ \langle4|Q^4|4\rangle&=123. \end{aligned}$$⟨0∣Q4∣0⟩⟨2∣Q4∣2⟩⟨4∣Q4∣4⟩​=3,=39,=123.​

非対角行列要素

$Q^4$Q4 は量子数を $0,\pm2,\pm4$0,±2,±4 だけ変化させ得ます。

まず $|0\rangle$∣0⟩ と $|2\rangle$∣2⟩ の間では、

$$\langle0|Q^4|2\rangle = 6\sqrt2$$⟨0∣Q4∣2⟩=62​

です。

同様に、

$$\langle2|Q^4|4\rangle = 28\sqrt3$$⟨2∣Q4∣4⟩=283​

となります。

また、量子数が $4$4 異なる行列要素は、

$$\langle0|Q^4|4\rangle = \sqrt{1\cdot2\cdot3\cdot4} = 2\sqrt6$$⟨0∣Q4∣4⟩=1⋅2⋅3⋅4​=26​

です。

$Q^4$Q4 はエルミート演算子なので、逆向きの行列要素も同じ実数になります。

初期状態の規格化

初期状態の係数の二乗和は、

$$A^2+B^2+C^2 = 108+6+18 = 132$$A2+B2+C2=108+6+18=132

です。

したがって、

$$\mathcal N=\frac{1}{\sqrt{132}}$$N=132​1​

となります。

時間発展

ハミルトニアンは、

$$H = \hbar\omega \left( a^\dagger a+\frac12 \right)$$H=ℏω(a†a+21​)

と書けるため、エネルギー固有値は、

$$E_n = \hbar\omega \left( n+\frac12 \right)$$En​=ℏω(n+21​)

です。

共通する全体位相を除けば、

$$|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{132}} \left( A|0\rangle + Be^{-2i\omega t}|2\rangle + Ce^{-4i\omega t}|4\rangle \right)$$∣ψ(t)⟩=132​1​(A∣0⟩+Be−2iωt∣2⟩+Ce−4iωt∣4⟩)

と書けます。

したがって、量子数が $2$2 異なる成分の干渉から $\cos(2\omega t)$cos(2ωt) が現れ、量子数が $4$4 異なる成分の干渉から $\cos(4\omega t)$cos(4ωt) が現れます。

対角項

対角項の総和は、

$$\begin{aligned} D &= A^2\langle0|Q^4|0\rangle + B^2\langle2|Q^4|2\rangle + C^2\langle4|Q^4|4\rangle\\ &= 108\cdot3 + 6\cdot39 + 18\cdot123\\ &= 2772. \end{aligned}$$D​=A2⟨0∣Q4∣0⟩+B2⟨2∣Q4∣2⟩+C2⟨4∣Q4∣4⟩=108⋅3+6⋅39+18⋅123=2772.​

$\cos(2\omega t)$cos(2ωt) の項

$|0\rangle$∣0⟩ と $|2\rangle$∣2⟩ の干渉項は、

$$2AB\langle0|Q^4|2\rangle = 2(6\sqrt3)(\sqrt6)(6\sqrt2) = 432$$2AB⟨0∣Q4∣2⟩=2(63​)(6​)(62​)=432

です。

$|2\rangle$∣2⟩ と $|4\rangle$∣4⟩ の干渉項は、

$$2BC\langle2|Q^4|4\rangle = 2(\sqrt6)(3\sqrt2)(28\sqrt3) = 1008$$2BC⟨2∣Q4∣4⟩=2(6​)(32​)(283​)=1008

です。

よって $\cos(2\omega t)$cos(2ωt) の係数は、

$$432+1008=1440$$432+1008=1440

となります。

$\cos(4\omega t)$cos(4ωt) の項

$|0\rangle$∣0⟩ と $|4\rangle$∣4⟩ の干渉から、

$$2AC\langle0|Q^4|4\rangle = 2(6\sqrt3)(3\sqrt2)(2\sqrt6) = 432$$2AC⟨0∣Q4∣4⟩=2(63​)(32​)(26​)=432

を得ます。

以上より、

$$M(t) = \frac{x_0^4}{132} \left[ 2772 + 1440\cos(2\omega t) + 432\cos(4\omega t) \right]$$M(t)=132x04​​[2772+1440cos(2ωt)+432cos(4ωt)]

です。

極値の決定

ここで、

$$c=\cos(2\omega t)$$c=cos(2ωt)

とおきます。

$t\geq0$t≥0 を動かすと、

$$-1\leq c\leq1$$−1≤c≤1

のすべての値が実現します。

倍角公式

$$\cos(4\omega t)=2c^2-1$$cos(4ωt)=2c2−1

を用いると、

$$M(t) = \frac{x_0^4}{132} \left( 864c^2+1440c+2340 \right)$$M(t)=132x04​​(864c2+1440c+2340)

となります。

したがって、

$$f(c)=864c^2+1440c+2340$$f(c)=864c2+1440c+2340

を区間 $-1\leq c\leq1$−1≤c≤1 で最大・最小にすればよいことになります。

この二次関数は上に凸であり、その頂点は、

$$c = -\frac{1440}{2\cdot864} = -\frac56$$c=−2⋅8641440​=−65​

です。

これは区間 $[-1,1]$[−1,1] の内部にあります。

頂点で、

$$\begin{aligned} f\left(-\frac56\right) &= 864\left(\frac{25}{36}\right) + 1440\left(-\frac56\right) + 2340\\ &= 600-1200+2340\\ &= 1740. \end{aligned}$$f(−65​)​=864(3625​)+1440(−65​)+2340=600−1200+2340=1740.​

よって、

$$M_{\min} = \frac{1740}{132}x_0^4$$Mmin​=1321740​x04​

です。

一方、最大値は端点を比較して決めます。

$c=1$c=1 では、

$$f(1) = 864+1440+2340 = 4644$$f(1)=864+1440+2340=4644

です。

$c=-1$c=−1 では、

$$f(-1) = 864-1440+2340 = 1764$$f(−1)=864−1440+2340=1764

です。

したがって、

$$M_{\max} = \frac{4644}{132}x_0^4$$Mmax​=1324644​x04​

となります。

最大値と最小値の比

共通因子 $\frac{x_0^4}{132}$132x04​​ は消えるので、

$$R = \frac{4644}{1740}$$R=17404644​

です。

約分すると、

$$R = \frac{387}{145}$$R=145387​

となります。

したがって、

$$p=387, \qquad q=145$$p=387,q=145

であり、

$$p+q=532$$p+q=532

です。

入力すべき自然数：532