GSO009 問題8

円運動の中心と運動量

まず、一様磁場中を運動する正電荷について、円運動の中心と運動量の関係を考えます。

電荷が $+q$+q、運動量が

$$(p_x,p_y)$$(px​,py​)

であるとします。

磁場は $z$z 軸正方向を向いているので、正電荷には速度の進行方向から時計回りに $90^\circ$90∘ 回転した向きのローレンツ力が働きます。

運動量の大きさを $p$p とすると、円運動の半径は

$$R=\frac{p}{qB}$$R=qBp​

です。

したがって、粒子の現在位置から円の中心へ向かうベクトルは

$$\left( \frac{p_y}{qB}, -\frac{p_x}{qB} \right)$$(qBpy​​,−qBpx​​)

となります。

ここで、ある粒子が原点 $O$O から点

$$P=(x,y)$$P=(x,y)

まで運動したとします。

原点での運動量を $(p_{0x},p_{0y})$(p0x​,p0y​)、点 $P$P での運動量を $(p_x,p_y)$(px​,py​) とします。

同じ円運動の中心を、原点から見た場合と点 $P$P から見た場合の2通りで表すと、

$$\left( \frac{p_{0y}}{qB}, -\frac{p_{0x}}{qB} \right) = \left( x+\frac{p_y}{qB}, y-\frac{p_x}{qB} \right)$$(qBp0y​​,−qBp0x​​)=(x+qBpy​​,y−qBpx​​)

です。

よって、

$$p_x-p_{0x}=qBy$$px​−p0x​=qBy

および

$$p_y-p_{0y}=-qBx$$py​−p0y​=−qBx

を得ます。

つまり、電荷 $+q$+q の粒子が原点から同じ点 $P$P まで運動したとき、その間の運動量変化は途中の軌道によらず同じです。

今回、粒子 $A,B$A,B はともに電荷 $+q$+q であり、原点から同じ点 $P$P へ到達します。

したがって、

$$\text{粒子 $A$ の運動量変化} = \text{粒子 $B$ の運動量変化}$$粒子 A の運動量変化=粒子 B の運動量変化

となります。

分裂直後の運動量を求める

分裂直後の粒子 $A$A の運動量を

$$\boldsymbol{p}_A=(a_x,a_y)$$pA​=(ax​,ay​)

粒子 $B$B の運動量を

$$\boldsymbol{p}_B=(b_x,b_y)$$pB​=(bx​,by​)

とします。

分裂時には運動量が保存されるので、

$$a_x+b_x=3mV$$ax​+bx​=3mV $$a_y+b_y=0$$ay​+by​=0

です。

次に、衝突までに各粒子の速度がどれだけ回転するかを考えます。

一様磁場中における角速度の大きさは、

$$\omega=\frac{qB}{m}$$ω=mqB​

です。

したがって、粒子 $A$A の角速度を $\omega$ω とすると、質量が $2m$2m で電荷が同じ $+q$+q である粒子 $B$B の角速度は、

$$\frac{\omega}{2}$$2ω​

です。

衝突の瞬間、粒子 $A$A の速度は分裂直後と初めて正反対になっています。

したがって、$A$A の速度は衝突までにちょうど $180^\circ$180∘ 回転しています。

同じ時間に $B$B の速度が回転する角度はその半分なので、

$$90^\circ$$90∘

です。

粒子 $A$A の衝突直前の運動量は、

$$(-a_x,-a_y)$$(−ax​,−ay​)

です。

よって、$A$A の運動量変化は、

$$(-2a_x,-2a_y)$$(−2ax​,−2ay​)

となります。

一方、粒子 $B$B は時計回りに $90^\circ$90∘ 回転するので、その衝突直前の運動量は、

$$(b_y,-b_x)$$(by​,−bx​)

です。

したがって、$B$B の運動量変化は、

$$(b_y-b_x,-b_x-b_y)$$(by​−bx​,−bx​−by​)

となります。

$A,B$A,B の運動量変化は等しいので、

$$-2a_x=b_y-b_x$$−2ax​=by​−bx​ $$-2a_y=-b_x-b_y$$−2ay​=−bx​−by​

です。

また、分裂時の $y$y 方向の運動量保存から、

$$b_y=-a_y$$by​=−ay​

です。

これを第2式へ代入すると、

$$-2a_y=-b_x+a_y$$−2ay​=−bx​+ay​

となるので、

$$b_x=3a_y$$bx​=3ay​

です。

さらに第1式へ代入すると、

$$-2a_x=-a_y-3a_y$$−2ax​=−ay​−3ay​

より、

$$a_x=2a_y$$ax​=2ay​

となります。

$x$x 方向の運動量保存より、

$$a_x+b_x=3mV$$ax​+bx​=3mV

ですから、

$$2a_y+3a_y=3mV$$2ay​+3ay​=3mV

です。

したがって、

$$a_y=\frac35mV$$ay​=53​mV

となり、

$$a_x=\frac65mV$$ax​=56​mV $$b_x=\frac95mV$$bx​=59​mV $$b_y=-\frac35mV$$by​=−53​mV

を得ます。

よって、分裂直後の運動量は、

$$\boldsymbol{p}_A = \left( \frac65mV, \frac35mV \right)$$pA​=(56​mV,53​mV) $$\boldsymbol{p}_B = \left( \frac95mV, -\frac35mV \right)$$pB​=(59​mV,−53​mV)

です。

衝突点 $P$P を求める

粒子 $A$A の衝突直前の運動量は分裂直後と正反対なので、$A$A の運動量変化は、

$$\begin{aligned} \Delta\boldsymbol{p}_A &= \left( -\frac65mV, -\frac35mV \right) - \left( \frac65mV, \frac35mV \right)\\ &= \left( -\frac{12}{5}mV, -\frac65mV \right) \end{aligned}$$ΔpA​​=(−56​mV,−53​mV)−(56​mV,53​mV)=(−512​mV,−56​mV)​

です。

一方、先ほど求めた関係より、原点から

$$P=(x_P,y_P)$$P=(xP​,yP​)

まで運動した電荷 $+q$+q の粒子の運動量変化は、

$$(qBy_P,-qBx_P)$$(qByP​,−qBxP​)

です。

したがって、

$$(qBy_P,-qBx_P) = \left( -\frac{12}{5}mV, -\frac65mV \right)$$(qByP​,−qBxP​)=(−512​mV,−56​mV)

となります。

$x$x 座標について、

$$-qBx_P=-\frac65mV$$−qBxP​=−56​mV

なので、

$$x_P=\frac{6mV}{5qB}$$xP​=5qB6mV​

です。

合体直後の運動量

衝突直前の粒子 $A$A の運動量は、

$$\left( -\frac65mV, -\frac35mV \right)$$(−56​mV,−53​mV)

です。

粒子 $B$B は分裂直後の運動量

$$\left( \frac95mV, -\frac35mV \right)$$(59​mV,−53​mV)

から時計回りに $90^\circ$90∘ 回転しているので、衝突直前の運動量は、

$$\left( -\frac35mV, -\frac95mV \right)$$(−53​mV,−59​mV)

です。

合体の前後でも運動量が保存されるので、合体直後の粒子 $D$D の運動量は、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{p}_D &= \left( -\frac65mV, -\frac35mV \right) + \left( -\frac35mV, -\frac95mV \right)\\ &= \left( -\frac95mV, -\frac{12}{5}mV \right) \end{aligned}$$pD​​=(−56​mV,−53​mV)+(−53​mV,−59​mV)=(−59​mV,−512​mV)​

です。

その大きさは、

$$\begin{aligned} p_D &= mV \sqrt{ \left(\frac95\right)^2 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 }\\ &=3mV \end{aligned}$$pD​​=mV(59​)2+(512​)2​=3mV​

となります。

合体後の円運動

粒子 $D$D の電荷は $+2q$+2q です。

したがって、合体後の円運動の半径 $R$R は、

$$R=\frac{p_D}{2qB}$$R=2qBpD​​

より、

$$R=\frac{3mV}{2qB}$$R=2qB3mV​

です。

次に円の中心の $x$x 座標を求めます。

運動量が $(p_x,p_y)$(px​,py​)、電荷が $+Q$+Q の粒子では、現在位置から円の中心への変位の $x$x 成分は、

$$\frac{p_y}{QB}$$QBpy​​

です。

したがって、粒子 $D$D の円軌道の中心の $x$x 座標を $x_c$xc​ とすると、

$$\begin{aligned} x_c &= x_P+\frac{p_{D,y}}{2qB}\\ &= \frac{6mV}{5qB} -\frac{12mV/5}{2qB}\\ &=0 \end{aligned}$$xc​​=xP​+2qBpD,y​​=5qB6mV​−2qB12mV/5​=0​

となります。

つまり、合体後の円軌道の中心は $y$y 軸上にあります。

したがって、この円軌道上で到達する最大の $x$x 座標は、その半径そのものであり、

$$x_{\max} = \frac{3mV}{2qB}$$xmax​=2qB3mV​

です。

よって、

$$\begin{aligned} \frac{x_{\max}}{x_P} &= \frac{\dfrac{3mV}{2qB}} {\dfrac{6mV}{5qB}}\\ &= \frac54 \end{aligned}$$xP​xmax​​​=5qB6mV​2qB3mV​​=45​​

となります。

したがって、

$$p=5,\qquad r=4$$p=5,r=4

であり、入力すべき自然数は、

$$\boxed{9}$$9​

です。