GSO009 問題5

自己インダクタンス $L$ のコイルでは、電流が変化すると、その変化を妨げる向きに自己誘導による起電力が生じます。その大きさは、

L\left|\frac{dI}{dt}\right|

です。

コイル A では正の向きの電流が増加しているため、自己誘導による起電力は正の向きとは逆向きに生じます。

したがって、回路についてキルヒホッフの第2法則を適用すると、

E_A-R_AI_A-L_A\frac{dI_A}{dt}=0

となります。

よって、

L_A = \frac{E_A-R_AI_A}{dI_A/dt}

です。

数値を代入すると、

\begin{aligned} L_A &= \frac{12.0-5.00\times1.20}{15.0}\\ &= \frac{6.00}{15.0}\\ &= 0.400\,\mathrm{H} \end{aligned}

となります。

コイル B では正の向きの電流が減少しています。そのため、自己誘導による起電力は電流の減少を妨げるように、正の向きに生じます。

一方、電源は正の向きとは逆向きに電流を流そうとする向きに接続されています。

正の向きに回路を一周してキルヒホッフの第2法則を適用すると、

-E_B-R_BI_B-L_B\frac{dI_B}{dt}=0

となります。

ここで、

\frac{dI_B}{dt}=-10.0\,\mathrm{A/s}

なので、

L_B\left|\frac{dI_B}{dt}\right| = E_B+R_BI_B

が得られます。

したがって、

L_B = \frac{E_B+R_BI_B} {\left|dI_B/dt\right|}

です。

数値を代入すると、

\begin{aligned} L_B &= \frac{3.00+4.00\times0.800}{10.0}\\ &= \frac{6.20}{10.0}\\ &= 0.620\,\mathrm{H} \end{aligned}

となります。

自己インダクタンス $L$ のコイルに電流 $I$ が流れているとき、コイルに蓄えられる磁気エネルギーは、

U=\frac{1}{2}LI^2

です。

したがって、

\begin{aligned} U_A &= \frac{1}{2}\times0.400\times(1.20)^2\\ &= 0.288\,\mathrm{J} \end{aligned}

です。

また、

\begin{aligned} U_B &= \frac{1}{2}\times0.620\times(0.800)^2\\ &= 0.1984\,\mathrm{J} \end{aligned}

です。

よって、

\begin{aligned} \frac{U_A}{U_B} &= \frac{0.288}{0.1984}\\ &= \frac{45}{31} \end{aligned}

となります。

したがって、

p=45,\qquad q=31

より、

p+q=76

です。

入力すべき自然数は 76 です。

自己誘導から比較する2つのコイルの磁気エネルギー