併合過程における雨滴の成長と落下

雨滴の質量 $m$ とその変化率 $dm/dt$ は、単位時間あたりに雨滴が掃く体積が $\pi r^2v$ であることに注意して、

\begin{aligned} m&=\frac{4}{3}\pi r^3\rho_w,\\ \frac{dm}{dt}&=\pi r^2v\alpha \end{aligned}

となる。

また、 $r$ の変化率について、

\frac{dr}{dt} =\frac{dm}{dt}\frac{dr}{dm} =\frac{\alpha}{4\rho_w}v

となる。

さて、雨滴の運動量 $mv$ の時間変化が重力と空気抵抗力の合力に一致するから、運動方程式は、

\frac{d(mv)}{dt} =m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt} =mg-\frac{1}{4}\pi\rho_a r^2v^2

となる。上昇気流とともに動く基準系では、吸収前の小さな雲粒が静止しており、雨滴へ流入する直前の鉛直運動量が $0$ であることに注意する。

以上より、 $r$ についての閉じた微分方程式、

\ddot{r}+a\frac{1}{r}\dot{r}^{\,2}=b

を得る。ただし、ドットは時間微分を表し、

\begin{aligned} a&=3+\frac{3\rho_a}{4\alpha},\\ b&=\frac{g\alpha}{4\rho_w} \end{aligned}

である。

ここで、変数変換

u=r^\gamma\dot{r}

を施すと、

\dot{u} =r^\gamma \left( \ddot{r}+\frac{\gamma\dot{r}^{\,2}}{r} \right)

となるので、 $\gamma=a$ とすれば、

\dot{u}=br^a

となる。

また、

\dot{r}=\frac{u}{r^a}

であるから、

\frac{du}{dr} =\frac{du}{dt}\frac{dt}{dr} =\frac{br^{2a}}{u}

と変形できる。

これは変数分離形として解けて、

\frac{1}{2}u^2 =\frac{b}{2a+1}r^{2a+1}+C

となる。

したがって、

\dot{r} =\sqrt{ \frac{2b}{2a+1}r +Cr^{-2a} }

であり、

t =\int_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{ \sqrt{ \frac{2b}{2a+1}r +Cr^{-2a} } }

となる。

数値を代入すると、

\begin{aligned} a&=903,\\ b&=2.45\times10^{-6}\,\mathrm{m/s^2} \end{aligned}

となる。

また、初期条件が、

v_0 =\frac{4\rho_w}{\alpha} \sqrt{\frac{2b}{2a+1}r_0}

を満たすので、任意定数は $C=0$ と決定できる。

よって、

\begin{aligned} t &=\int_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{ \sqrt{\frac{2b}{2a+1}r} }\\ &=2\sqrt{\frac{2a+1}{2b}} \left(\sqrt{r_1}-\sqrt{r_0}\right)\\ &=40\sqrt{\frac{18070}{49}}\,\mathrm{s}\\ &=\frac{40}{7}\sqrt{18070}\,\mathrm{s} \end{aligned}

となる。

ここで、 $40$ と $7$ は互いに素であり、

18070=2\times5\times13\times139

は $1$ より大きい平方数で割り切れない。

したがって、

A=40,\qquad B=7,\qquad C=18070

であるから、

A+B+C =40+7+18070 =18117

となる。

入力すべき値は18117。

問題文