風船の熱力学

ゴム膜の非圧縮性より、厚みを $\delta$ とすると、 $\delta\ll r$ に注意して、

4\pi r^2\delta=4\pi r_0^2\delta_0

よって、ゴム膜の単位長さあたりに働く張力 $\gamma$ は、

\gamma =\delta\tau =\alpha r_0\delta_0T\frac{r-r_0}{r^2}

次に、風船内部の気体の圧力 $p$ を求める。2つの方法を解説する。

一辺 $r\theta$ の微小ゴム膜正方形に着目する。各辺はゴム膜から $r\theta\gamma$ の張力を受けるが、その合力は風船の中心向きに、

4r\theta\gamma\sin\frac{\theta}{2}

となる。

微小ゴム膜正方形にかかる力のつり合いから、

p=p_0+\frac{4r\theta\gamma\sin(\theta/2)}{(r\theta)^2}

$\theta\to0$ として、

p=p_0+\frac{2\gamma}{r}

風船の左半分にかかる力のつり合いを考える。過剰圧力 $p-p_0$ により左向きに $(p-p_0)\pi r^2$ 、ゴム膜により右向きに $2\pi r\gamma$ の力を受けるから、

p=p_0+\frac{2\gamma}{r}

以上の圧力 $p$ の表式と理想気体の状態方程式より、

\begin{aligned} \frac{4}{3}\pi r^3p &=\frac{4}{3}\pi r^3p_0 +\frac{8}{3}\pi\alpha r_0\delta_0(r-r_0)T \\ &=RT \end{aligned}

したがって、

\begin{aligned} T &=\frac{4\pi r^3p_0/3} {R-8\pi\alpha r_0\delta_0(r-r_0)/3} \\ &=\frac{x^3}{1+K-Kx}T_0 \end{aligned}

これを $x$ で微分すると、

\begin{aligned} \frac{dT}{dx} &=\frac{3(1+K)x^2-2Kx^3}{(1+K-Kx)^2}T_0 \\ &=\frac{3(1+K)/x-2K}{1+K-Kx}T \end{aligned}

熱力学第一法則より、

\begin{aligned} dQ &=dU+pdV \\ &=\frac{3}{2}R\,dT+4\pi r^2r_0p\,dx \end{aligned}

よって、

\begin{aligned} C &=\frac{dQ}{dT} \\ &=\frac{3}{2}R+4\pi r^2r_0p\frac{dx}{dT} \\ &=\frac{3}{2}R\frac{5+5K-4Kx}{3+3K-2Kx} \end{aligned}

したがって、

a=5,\qquad b=5,\qquad c=4,\qquad d=3,\qquad e=2

であるから、

abcde =5\times5\times4\times3\times2 =600

入力すべき値は600。

問題文