GSO008 問題5

音速を $V$ 、車の速さを $v$ 、観測者が出した音の振動数を $f_0$ とする。

車は音源に近づいているので、車が受け取る音の振動数は、

\frac{V+v}{V}f_0

である。

さらに、反射した音波を出す車は観測者に近づく音源とみなせるため、観測者が聞く反射音の振動数は、

\frac{V+v}{V-v}f_0

となる。

したがって、

\frac{V+v}{V-v}=\frac{19}{15}

より、

v=\frac{2}{17}V

である。

元の音波と反射音とで波の数は変化しないから、

f_0t_1=\frac{V+v}{V-v}f_0(t_3-t_2)

が成り立つ。

したがって、

t_3-t_2=\frac{V-v}{V+v}t_1

である。

ここで、

\frac{V-v}{V+v}=\frac{15}{19}

であるから、

t_3=2.2\,\mathrm{s}+\frac{15}{19}\times1.9\,\mathrm{s}

よって、

t_3=3.7\,\mathrm{s}

となる。

時刻 $t=0$ に発した音波が時刻 $t=t_2$ に観測者へ戻ってくるまでに、音波は観測者と車の間を往復する。

時刻 $t=0$ における観測者と車との距離を $D$ とすると、

D=\frac{(V+v)t_2}{2}

である。

したがって、車が時刻 $t=0$ から観測者の位置に到達するまでの時間は、

\frac{D}{v}=\frac{(V+v)t_2}{2v}

となる。

$v=\frac{2}{17}V$ を用いると、

\frac{D}{v}=10.45\,\mathrm{s}

である。

よって、時刻 $t=t_3$ から車が到達するまでの時間は、

10.45\,\mathrm{s}-3.7\,\mathrm{s}=6.75\,\mathrm{s}

となる。

意外と余裕があるが、音波などで遊んでいる場合ではない。

したがって、入力すべき値は、

6.75\times100=675

である。

生存を賭けた、音波による対象の位置と速度の測定