GSO007 問題10

問題文

集合$\Omega=\left\{\gamma：[t_0,t_1]\xrightarrow{C^\infty}\mathbb{R}\mid\gamma(t_0)=x_0,\gamma(t_1)=x_1\right\}$Ω={γ：[t0​,t1​]C∞​R∣γ(t0​)=x0​,γ(t1​)=x1​}と、十分滑らかな関数$L(x,v,t)：\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$L(x,v,t)：R3→Rに対して$S：\Omega\to\mathbb{R}$S：Ω→Rを

で定める。$S$Sの停留の必要十分条件はEuler-Lagrange方程式で与えられる：

ここで、速度表示のエネルギー関数$H(x,v,t)：\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$H(x,v,t)：R3→Rを

で定める。

[1] $L$Lが$t$tに陽に依存しないとき、$\frac{d}{dt}\left(H\circ\tilde{\gamma}\right)(t)$dtd​(H∘γ~​)(t)を計算せよ。

[2] $a,\lambda\gt0$a,λ>0とする。時刻$t$tは秒単位、$\phi$ϕと$a$aはメートル単位、$\lambda$λは$\mathrm{m^{-2}s^{-2}}$m−2s−2単位で表す。次の微分方程式を満たす$\phi(t)$ϕ(t)を求めよ：

制約

$a=3$a=3

$\lambda=2$λ=2

入力形式

時刻は秒、$\phi$ϕの値はメートルを単位として表すものとする。 $\phi(\ln2)=\frac{q}{p}$ϕ(ln2)=pq​と表せるので、$p+q$p+qを求めよ。 ただし、$p,q$p,qは互いに素な正整数。