GSO006 問題9

分散関係を求める

まず、波の形

$$y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$$y(x,t)=Acos(kx−ωt)

を運動方程式に代入します。

時間について二階微分すると

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\omega^2 y$$∂t2∂2y​=−ω2y

空間について二階微分、四階微分すると

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-k^2 y$$∂x2∂2y​=−k2y $$\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=k^4 y$$∂x4∂4y​=k4y

です。これらを運動方程式に代入すると、

$$-\mu\omega^2 y=-Tk^2y-Bk^4y-\kappa y$$−μω2y=−Tk2y−Bk4y−κy

となります。両辺に $-1$−1 をかけ、$y\neq 0$y=0 として割ると、

$$\mu\omega^2=Tk^2+Bk^4+\kappa$$μω2=Tk2+Bk4+κ

です。したがって分散関係は

$$\omega^2=\frac{\kappa}{\mu}+\frac{T}{\mu}k^2+\frac{B}{\mu}k^4$$ω2=μκ​+μT​k2+μB​k4

となります。

ここで

$$\Omega^2=\frac{\kappa}{\mu},\qquad a=\frac{T}{\mu},\qquad b=\frac{B}{\mu}$$Ω2=μκ​,a=μT​,b=μB​

とおくと、

$$\omega^2=\Omega^2+ak^2+bk^4$$ω2=Ω2+ak2+bk4

と書けます。

この形を見ると、$\Omega^2$Ω2 は弾性基礎による局所的な復元効果、$ak^2$ak2 は張力による効果、$bk^4$bk4 は曲げ剛性による効果を表しています。$\Omega^2$Ω2 項や $k^4$k4 項があるため、波数によって波の速さが変わる分散性が生じます。特に $k^4$k4 項は、高波数側で分散性を強くする効果をもちます。

位相速度を表す

位相速度は、波の山や谷など、一定位相の点が進む速さです。定義より

$$v_{\mathrm p}=\frac{\omega}{k}$$vp​=kω​

です。分散関係を用いると、

$$v_{\mathrm p}^2=\frac{\omega^2}{k^2}=\frac{\Omega^2}{k^2}+a+bk^2$$vp2​=k2ω2​=k2Ω2​+a+bk2

となります。

したがって、このリボンでは位相速度は一定ではなく、波数 $k$k に依存します。

群速度を表す

群速度は、近い波数をもつ波を重ねたときにできる波束の包絡線が進む速さです。定義より

$$v_{\mathrm g}=\frac{d\omega}{dk}$$vg​=dkdω​

です。

分散関係

$$\omega^2=\Omega^2+ak^2+bk^4$$ω2=Ω2+ak2+bk4

を $k$k で微分します。左辺は合成関数の微分により

$$\frac{d}{dk}\omega^2=2\omega\frac{d\omega}{dk}$$dkd​ω2=2ωdkdω​

です。右辺を微分すると

$$\frac{d}{dk}\left(\Omega^2+ak^2+bk^4\right)=2ak+4bk^3$$dkd​(Ω2+ak2+bk4)=2ak+4bk3

となるので、

$$2\omega\frac{d\omega}{dk}=2ak+4bk^3$$2ωdkdω​=2ak+4bk3

です。よって

$$v_{\mathrm g}=\frac{d\omega}{dk}=\frac{ak+2bk^3}{\omega}$$vg​=dkdω​=ωak+2bk3​

となります。

位相速度と群速度が一致する条件

位相速度と群速度が一致する条件は

$$v_{\mathrm p}=v_{\mathrm g}$$vp​=vg​

です。つまり

$$\frac{\omega}{k}=\frac{ak+2bk^3}{\omega}$$kω​=ωak+2bk3​

です。両辺に $k\omega$kω をかけると、

$$\omega^2=ak^2+2bk^4$$ω2=ak2+2bk4

となります。

一方、分散関係より

$$\omega^2=\Omega^2+ak^2+bk^4$$ω2=Ω2+ak2+bk4

です。これらを等しいものとして比較すると、

$$\Omega^2+ak^2+bk^4=ak^2+2bk^4$$Ω2+ak2+bk4=ak2+2bk4

となります。両辺から $ak^2$ak2 を消すと、

$$\Omega^2+bk^4=2bk^4$$Ω2+bk4=2bk4

したがって

$$bk^4=\Omega^2$$bk4=Ω2

です。よって、位相速度と群速度が一致する正の波数は

$$k_*=\left(\frac{\Omega^2}{b}\right)^{1/4}$$k∗​=(bΩ2​)1/4

です。

ここで重要なのは、張力に由来する $a$a が一致条件そのものには現れないことです。張力項は $\omega^2$ω2 の中で $ak^2$ak2 として入り、位相速度と群速度の比較では同じ形で現れるため、条件式から消えます。

共通速度を求める

位相速度と群速度が一致するときの速さは、位相速度の式を使って

$$v_*^2=\frac{\Omega^2}{k_*^2}+a+bk_*^2$$v∗2​=k∗2​Ω2​+a+bk∗2​

と書けます。

一致条件

$$bk_*^4=\Omega^2$$bk∗4​=Ω2

より、

$$k_*^2=\frac{\Omega}{\sqrt{b}}$$k∗2​=b​Ω​

です。したがって

$$\frac{\Omega^2}{k_*^2}=\frac{\Omega^2}{\Omega/\sqrt{b}}=\Omega\sqrt{b}$$k∗2​Ω2​=Ω/b​Ω2​=Ωb​

また、

$$bk_*^2=b\frac{\Omega}{\sqrt{b}}=\Omega\sqrt{b}$$bk∗2​=bb​Ω​=Ωb​

です。よって

$$v_*^2=a+2\Omega\sqrt{b}$$v∗2​=a+2Ωb​

となります。

これは、$v_*^2$v∗2​ が、張力だけがある弦の波速の二乗 $T/\mu$T/μ に、弾性基礎と曲げ剛性の組合せによる補正項 $2\Omega\sqrt{b}$2Ωb​ が加わった形になっていることを表しています。ここで $a=T/\mu$a=T/μ は速度そのものではなく、速度の二乗の次元をもつ量です。

数値を代入する

まず、

$$a=\frac{T}{\mu}=\frac{7.20}{8.00\times 10^{-2}}=90.0\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$$a=μT​=8.00×10−27.20​=90.0 m2s−2

です。

次に、

$$b=\frac{B}{\mu}=\frac{5.00\times 10^{-3}}{8.00\times 10^{-2}}=6.25\times 10^{-2}\ \mathrm{m^4\,s^{-2}}$$b=μB​=8.00×10−25.00×10−3​=6.25×10−2 m4s−2

なので、

$$\sqrt{b}=0.250\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$$b​=0.250 m2s−1

です。また、

$$\Omega^2=\frac{\kappa}{\mu}=\frac{1.28}{8.00\times 10^{-2}}=16.0\ \mathrm{s^{-2}}$$Ω2=μκ​=8.00×10−21.28​=16.0 s−2

より、

$$\Omega=4.00\ \mathrm{s^{-1}}$$Ω=4.00 s−1

です。

したがって

$$v_*^2=a+2\Omega\sqrt{b}=90.0+2\cdot 4.00\cdot 0.250=92.0\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$$v∗2​=a+2Ωb​=90.0+2⋅4.00⋅0.250=92.0 m2s−2

となります。

つまり

$$v_*=\sqrt{92}\ \mathrm{m\,s^{-1}}=2\sqrt{23}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$v∗​=92​ ms−1=223​ ms−1

です。

入力すべき無次元量は

$$N=\frac{v_*^2}{1\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}}$$N=1 m2s−2v∗2​​

なので、

$$N=92$$N=92

です。

したがって、入力すべき自然数は

$$\boxed{92}$$92​

です。