GSO006 問題8

直列交流回路の電流

直列回路では、抵抗、コイル、コンデンサーを同じ実効電流が流れます。角周波数 $\omega$ω の正弦波交流に対して、コイルのリアクタンスは $\omega L$ωL、コンデンサーのリアクタンスは $\dfrac{1}{\omega C}$ωC1​ です。

直列回路全体のインピーダンスの大きさは

$$Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}$$Z=R2+(ωL−ωC1​)2​

です。したがって実効電流は

$$I=\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$$I=R2+(ωL−ωC1​)2​V​

となります。

ここで

$$X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$$X=ωL−ωC1​

とおくと、$X$X はコイルとコンデンサーの効果のずれを表す量です。

共振条件

実効電流が最大になるのは、分母が最小になるときです。抵抗 $R$R は一定なので、最小になる条件は

$$X=0$$X=0

です。よって共振時には

$$\omega L=\frac{1}{\omega C_0}$$ωL=ωC0​1​

が成り立ちます。このときインピーダンスは $R$R だけになり、最大電流は

$$I_{\max}=\frac{V}{R}$$Imax​=RV​

です。

電流が半分になる条件

$C=C_1$C=C1​ または $C=C_2$C=C2​ のとき、電流は

$$I=\frac{1}{2}I_{\max}$$I=21​Imax​

です。つまり

$$\frac{V}{\sqrt{R^2+X^2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{V}{R}$$R2+X2​V​=21​⋅RV​

です。両辺を整理すると

$$\sqrt{R^2+X^2}=2R$$R2+X2​=2R

となるので、

$$X^2=3R^2$$X2=3R2

です。したがって

$$|X|=\sqrt{3}R$$∣X∣=3​R

となります。

ここで、$C_1<C_0<C_2$C1​<C0​<C2​ なので、$C_1$C1​ 側と $C_2$C2​ 側ではリアクタンスのずれの符号が反対になります。よって

$$\omega L-\frac{1}{\omega C_1}=-\sqrt{3}R$$ωL−ωC1​1​=−3​R $$\omega L-\frac{1}{\omega C_2}=+\sqrt{3}R$$ωL−ωC2​1​=+3​R

と書けます。

逆数を使って対称性を見る

共振条件

$$\omega L=\frac{1}{\omega C_0}$$ωL=ωC0​1​

を使うと、リアクタンスのずれは

$$X=\frac{1}{\omega C_0}-\frac{1}{\omega C}$$X=ωC0​1​−ωC1​

です。

$C_1$C1​ と $C_2$C2​ で $|X|$∣X∣ が等しいため、

$$\frac{1}{C_0}-\frac{1}{C_1} = -\left(\frac{1}{C_0}-\frac{1}{C_2}\right)$$C0​1​−C1​1​=−(C0​1​−C2​1​)

が成り立ちます。これを整理すると、

$$\frac{1}{C_0} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$C0​1​=21​(C1​1​+C2​1​)

です。

また、$C_1$C1​ と $C_2$C2​ の差から

$$\frac{1}{\omega}\left(\frac{1}{C_1}-\frac{1}{C_2}\right) = 2\sqrt{3}R$$ω1​(C1​1​−C2​1​)=23​R

となります。

$Q$Q を $C_1,C_2$C1​,C2​ だけで表す

求めたい量は

$$Q=\frac{\omega L}{R}$$Q=RωL​

です。共振条件より

$$\omega L=\frac{1}{\omega C_0}$$ωL=ωC0​1​

なので、

$$Q=\frac{1}{\omega C_0 R}$$Q=ωC0​R1​

です。

先ほどの式から

$$R= \frac{1}{2\sqrt{3}\omega} \left(\frac{1}{C_1}-\frac{1}{C_2}\right)$$R=23​ω1​(C1​1​−C2​1​)

です。これを代入すると、

$$Q = \frac{1}{\omega C_0} \cdot \frac{2\sqrt{3}\omega}{\dfrac{1}{C_1}-\dfrac{1}{C_2}}$$Q=ωC0​1​⋅C1​1​−C2​1​23​ω​

したがって

$$Q = \frac{2\sqrt{3}}{C_0\left(\dfrac{1}{C_1}-\dfrac{1}{C_2}\right)}$$Q=C0​(C1​1​−C2​1​)23​​

です。

さらに

$$\frac{1}{C_0} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$C0​1​=21​(C1​1​+C2​1​)

を用いると、

$$Q = \sqrt{3} \frac{\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}} {\dfrac{1}{C_1}-\dfrac{1}{C_2}}$$Q=3​C1​1​−C2​1​C1​1​+C2​1​​

となります。

数値代入

$C_1=80.0\,\mathrm{pF}$C1​=80.0pF、$C_2=125\,\mathrm{pF}$C2​=125pF より、

$$\frac{1}{C_1}:\frac{1}{C_2} = \frac{1}{80.0}:\frac{1}{125}$$C1​1​:C2​1​=80.01​:1251​

です。単位は比で打ち消し合うので、数値だけを使えばよいです。

$$\frac{1}{80.0}=\frac{1}{80}$$80.01​=801​ $$\frac{1}{125}=\frac{1}{125}$$1251​=1251​

したがって

$$Q = \sqrt{3} \frac{\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{125}} {\dfrac{1}{80}-\dfrac{1}{125}}$$Q=3​801​−1251​801​+1251​​

です。

分子と分母を整理します。

$$\frac{1}{80}+\frac{1}{125} = \frac{125+80}{10000} = \frac{205}{10000}$$801​+1251​=10000125+80​=10000205​ $$\frac{1}{80}-\frac{1}{125} = \frac{125-80}{10000} = \frac{45}{10000}$$801​−1251​=10000125−80​=1000045​

よって

$$Q = \sqrt{3}\cdot\frac{205}{45} = \frac{41\sqrt{3}}{9}$$Q=3​⋅45205​=9413​​

です。

したがって

$$Q^2 = \left(\frac{41\sqrt{3}}{9}\right)^2 = \frac{41^2\cdot 3}{81} = \frac{1681}{27}$$Q2=(9413​​)2=81412⋅3​=271681​

これは既約分数なので、

$$p=1681,\qquad q=27$$p=1681,q=27

です。

よって入力すべき自然数は

$$p+q=1708$$p+q=1708

です。