GSO006 問題6

状態 $A$A の圧力を求める

理想気体なので、状態方程式

$$PV=nRT$$PV=nRT

が成り立ちます。状態 $A$A では

$$P_A V_A=nRT_A$$PA​VA​=nRTA​

より、

$$P_A=\frac{nRT_A}{V_A}$$PA​=VA​nRTA​​

です。数値を代入すると、

$$P_A=4.80\times 10^5\ \mathrm{Pa}$$PA​=4.80×105 Pa

となります。

過程 $A \to B$A→B は定圧過程なので、状態 $B$B の圧力も

$$P_B=P_A$$PB​=PA​

です。

状態 $B$B と状態 $C$C の温度

理想気体の状態方程式から、定圧で体積が変わると温度も体積に比例して変わります。

状態 $B$B では

$$T_B=\frac{P_BV_B}{nR}$$TB​=nRPB​VB​​

です。ここで $P_B=P_A$PB​=PA​ なので、

$$T_B=600\ \mathrm{K}$$TB​=600 K

となります。

状態 $C$C では、体積は $V_A$VA​ と同じで、圧力は $P_C$PC​ です。したがって

$$T_C=\frac{P_CV_A}{nR}$$TC​=nRPC​VA​​

より、

$$T_C=75.0\ \mathrm{K}$$TC​=75.0 K

です。

このサイクルは、圧縮後にかなり低温の状態 $C$C を通る点がやや変わっています。

各過程の仕事

まず、過程 $A \to B$A→B は定圧膨張です。気体が外部にする仕事は、$P$P-$V$V 図で過程の下の面積に等しいため、

$$W_{AB}=P_A(V_B-V_A)$$WAB​=PA​(VB​−VA​)

です。よって

$$W_{AB}=480\ \mathrm{J}$$WAB​=480 J

となります。

次に、過程 $B \to C$B→C は $P$P-$V$V 図上で直線です。直線過程では、仕事は圧力の平均値に体積変化を掛ければ求められます。

ただし、この過程では体積が減少するので、気体が外部にする仕事は負になります。

$$W_{BC}=\frac{P_B+P_C}{2}(V_C-V_B)$$WBC​=2PB​+PC​​(VC​−VB​)

ここで $V_C=V_A$VC​=VA​ ですから、

$$W_{BC}=-300\ \mathrm{J}$$WBC​=−300 J

です。

過程 $C \to A$C→A は定積過程なので、体積変化がありません。したがって

$$W_{CA}=0$$WCA​=0

です。

よって、一周期で気体が外部にした正味の仕事は

$$W=W_{AB}+W_{BC}+W_{CA}=180\ \mathrm{J}$$W=WAB​+WBC​+WCA​=180 J

です。

各過程の熱量

熱力学第一法則を

$$Q=\Delta U+W$$Q=ΔU+W

の形で使います。ここで、$Q$Q は気体が吸収した熱量、$\Delta U$ΔU は内部エネルギーの変化、$W$W は気体が外部にした仕事です。

単原子分子理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まり、

$$U=\frac{3}{2}nRT$$U=23​nRT

です。したがって、温度変化に対する内部エネルギー変化は

$$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T$$ΔU=23​nRΔT

となります。

過程 $A \to B$A→B では温度が上がり、さらに膨張して正の仕事をします。したがって熱を吸収しています。

$$\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}nR(T_B-T_A)=720\ \mathrm{J}$$ΔUAB​=23​nR(TB​−TA​)=720 J

より、

$$Q_{AB}=\Delta U_{AB}+W_{AB}=1200\ \mathrm{J}$$QAB​=ΔUAB​+WAB​=1200 J

です。

過程 $B \to C$B→C では温度が大きく下がり、しかも圧縮されて気体のする仕事は負です。

$$\Delta U_{BC}=\frac{3}{2}nR(T_C-T_B)=-1260\ \mathrm{J}$$ΔUBC​=23​nR(TC​−TB​)=−1260 J

なので、

$$Q_{BC}=\Delta U_{BC}+W_{BC}=-1560\ \mathrm{J}$$QBC​=ΔUBC​+WBC​=−1560 J

です。これは、気体が熱を放出していることを表します。

過程 $C \to A$C→A は定積加熱です。仕事はありませんが、温度が上がるので、吸収した熱は内部エネルギーの増加に等しくなります。

$$Q_{CA}=\Delta U_{CA}=\frac{3}{2}nR(T_A-T_C)=540\ \mathrm{J}$$QCA​=ΔUCA​=23​nR(TA​−TC​)=540 J

です。

熱効率を求める

熱機関の効率では、分母に「一周期で吸収した熱量の総和」を使います。放出した熱量は分母に入れません。

このサイクルで熱を吸収しているのは、過程 $A \to B$A→B と過程 $C \to A$C→A です。したがって

$$Q_{\mathrm{in}}=Q_{AB}+Q_{CA}$$Qin​=QAB​+QCA​

です。

よって、

$$Q_{\mathrm{in}}=1200+540=1740\ \mathrm{J}$$Qin​=1200+540=1740 J

となります。

正味の仕事は $180\ \mathrm{J}$180 J だったので、

$$\eta=\frac{180}{1740}$$η=1740180​

です。約分すると、

$$\eta=\frac{3}{29}$$η=293​

です。

したがって、$a=3,\ b=29$a=3, b=29 であり、入力すべき自然数は

$$a+b=32$$a+b=32

です。