GSO005 問題8

この問題で問うている物理

直列 $LRC$LRC 回路では，抵抗，コイル，コンデンサーに流れる電流は共通である。しかし，各素子の電圧は一般に同相ではない。

抵抗の電圧は電流と同相であり，コイルの電圧は電流より進み，コンデンサーの電圧は電流より遅れる。そのため，電源電圧の実効値 $V$V は，単純に

$$V=V_R+V_L+V_C$$V=VR​+VL​+VC​

とはならない。

実効値を用いた交流回路では，電圧の位相関係を考え，

$$V^2=V_R^2+(V_L-V_C)^2$$V2=VR2​+(VL​−VC​)2

を用いる。

今回は

$$\omega<\omega_0$$ω<ω0​

であるから，回路は容量性であり，

$$V_C>V_L$$VC​>VL​

である。

したがって，

$$V^2=V_R^2+(V_C-V_L)^2$$V2=VR2​+(VC​−VL​)2

と書ける。

また，この問題では「蓄積エネルギーの最大値の和」ではなく，実際の瞬時エネルギー

$$E(t)=\frac{1}{2}Li(t)^2+\frac{1}{2}Cv_C(t)^2$$E(t)=21​Li(t)2+21​CvC​(t)2

の時間平均を求める。これは実際に回路内に蓄えられているエネルギーに基づく量であり，物理的に自然な量である。

共振時の最大電力 $P_{\max}$Pmax​

同じ $R,L,C,V$R,L,C,V のまま，角振動数を共振角振動数

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$ω0​=LC​1​

にすると，コイルのリアクタンスとコンデンサーのリアクタンスが打ち消し合う。

したがって，共振時のインピーダンスは

$$Z=R$$Z=R

である。

よって，共振時の電流実効値は

$$I_{\max}=\frac{V}{R}$$Imax​=RV​

である。

抵抗の平均消費電力は

$$P_{\max}=I_{\max}^2R$$Pmax​=Imax2​R

だから，

$$P_{\max}=\left(\frac{V}{R}\right)^2R$$Pmax​=(RV​)2R $$P_{\max}=\frac{V^2}{R}$$Pmax​=RV2​

である。

実際の電流実効値と抵抗電圧

実際の角振動数 $\omega$ω における電流実効値を $I$I とする。

抵抗の平均消費電力は

$$P=I^2R$$P=I2R

である。

条件より

$$P=pP_{\max}$$P=pPmax​

だから，

$$I^2R=p\frac{V^2}{R}$$I2R=pRV2​

である。

両辺を整理すると，

$$I^2R^2=pV^2$$I2R2=pV2

である。

ここで，抵抗の両端電圧の実効値を $V_R$VR​ とすると，

$$V_R=IR$$VR​=IR

である。

したがって，

$$V_R^2=pV^2$$VR2​=pV2

より，

$$V_R=\sqrt{p}\,V$$VR​=p​V

である。

今回，

$$p=\frac{144}{169}$$p=169144​

なので，

$$\sqrt{p}=\sqrt{\frac{144}{169}}$$p​=169144​​ $$\sqrt{p}=\frac{12}{13}$$p​=1312​

である。

よって，

$$V_R=\frac{12}{13}V$$VR​=1312​V

となる。

リアクタンス電圧の差を求める

交流電源電圧の実効値について，

$$V^2=V_R^2+(V_C-V_L)^2$$V2=VR2​+(VC​−VL​)2

が成り立つ。

ここに

$$V_R=\sqrt{p}\,V$$VR​=p​V

を代入すると，

$$V^2=pV^2+(V_C-V_L)^2$$V2=pV2+(VC​−VL​)2

である。

よって，

$$(V_C-V_L)^2=(1-p)V^2$$(VC​−VL​)2=(1−p)V2

である。

今回

$$\omega<\omega_0$$ω<ω0​

なので

$$V_C>V_L$$VC​>VL​

である。したがって，

$$V_C-V_L=\sqrt{1-p}\,V$$VC​−VL​=1−p​V

である。

ここで，

$$p=\frac{144}{169}$$p=169144​

だから，

$$1-p=1-\frac{144}{169}$$1−p=1−169144​ $$1-p=\frac{25}{169}$$1−p=16925​

である。

よって，

$$\sqrt{1-p}=\frac{5}{13}$$1−p​=135​

である。

したがって，

$$V_C-V_L=\frac{5}{13}V$$VC​−VL​=135​V

となる。

コイル電圧 $V_L$VL​ を求める

条件より，

$$V_C=qV$$VC​=qV

である。

また，

$$V_C-V_L=\sqrt{1-p}\,V$$VC​−VL​=1−p​V

なので，

$$qV-V_L=\sqrt{1-p}\,V$$qV−VL​=1−p​V

である。

したがって，

$$V_L=\left(q-\sqrt{1-p}\right)V$$VL​=(q−1−p​)V

である。

数値を代入すると，

$$V_L=\left(13-\frac{5}{13}\right)V$$VL​=(13−135​)V $$V_L=\left(\frac{169}{13}-\frac{5}{13}\right)V$$VL​=(13169​−135​)V $$V_L=\frac{164}{13}V$$VL​=13164​V

である。

一方，

$$V_C=13V=\frac{169}{13}V$$VC​=13V=13169​V

だから，

$$\frac{V_L}{V_C} = \frac{\frac{164}{13}V}{\frac{169}{13}V}$$VC​VL​​=13169​V13164​V​ $$\frac{V_L}{V_C} = \frac{164}{169}$$VC​VL​​=169164​

である。

電圧比から $\omega^2LC$ω2LC を求める

コイルのリアクタンスを

$$X_L=\omega L$$XL​=ωL

コンデンサーのリアクタンスを

$$X_C=\frac{1}{\omega C}$$XC​=ωC1​

とする。

直列回路なので，コイルにもコンデンサーにも同じ電流実効値 $I$I が流れる。

したがって，

$$V_L=IX_L$$VL​=IXL​ $$V_C=IX_C$$VC​=IXC​

である。

よって，

$$\frac{V_L}{V_C} = \frac{IX_L}{IX_C}$$VC​VL​​=IXC​IXL​​ $$\frac{V_L}{V_C} = \frac{X_L}{X_C}$$VC​VL​​=XC​XL​​

である。

さらに，

$$\frac{X_L}{X_C} = \frac{\omega L}{1/(\omega C)}$$XC​XL​​=1/(ωC)ωL​ $$\frac{X_L}{X_C} = \omega^2LC$$XC​XL​​=ω2LC

である。

したがって，

$$\omega^2LC=\frac{V_L}{V_C}$$ω2LC=VC​VL​​

より，

$$\omega^2LC=\frac{164}{169}$$ω2LC=169164​

である。

この値が $1$1 より小さいことは，

$$\omega<\omega_0$$ω<ω0​

という条件とも一致している。

瞬時エネルギーの時間平均を考える

電流の実効値を $I$I とすると，電流の最大値は

$$I_0=\sqrt{2}I$$I0​=2​I

である。

したがって，コイルに蓄えられるエネルギーは

$$E_L(t)=\frac{1}{2}Li(t)^2$$EL​(t)=21​Li(t)2

であり，その時間平均は

$$\overline{E_L} = \frac{1}{2}L\overline{i(t)^2}$$EL​​=21​Li(t)2​

である。

正弦波電流では

$$\overline{i(t)^2}=I^2$$i(t)2​=I2

であるから，

$$\overline{E_L} = \frac{1}{2}LI^2$$EL​​=21​LI2

となる。

次に，コンデンサーの電圧実効値は $V_C$VC​ である。したがって，コンデンサーに蓄えられるエネルギー

$$E_C(t)=\frac{1}{2}Cv_C(t)^2$$EC​(t)=21​CvC​(t)2

の時間平均は

$$\overline{E_C} = \frac{1}{2}C\overline{v_C(t)^2}$$EC​​=21​CvC​(t)2​

である。

正弦波電圧では

$$\overline{v_C(t)^2}=V_C^2$$vC​(t)2​=VC2​

なので，

$$\overline{E_C} = \frac{1}{2}CV_C^2$$EC​​=21​CVC2​

である。

したがって，求める時間平均は

$$\overline{E} = \overline{E_L}+\overline{E_C}$$E=EL​​+EC​​

より，

$$\overline{E} = \frac{1}{2}LI^2+\frac{1}{2}CV_C^2$$E=21​LI2+21​CVC2​

である。

コイル側の平均エネルギーをコンデンサー側で表す

ここで，

$$V_C=IX_C$$VC​=IXC​

であり，

$$X_C=\frac{1}{\omega C}$$XC​=ωC1​

だから，

$$V_C=I\frac{1}{\omega C}$$VC​=IωC1​

である。

よって，

$$I=\omega C V_C$$I=ωCVC​

である。

これを

$$LI^2$$LI2

に代入すると，

$$LI^2=L(\omega C V_C)^2$$LI2=L(ωCVC​)2 $$LI^2=L\omega^2C^2V_C^2$$LI2=Lω2C2VC2​ $$LI^2=(\omega^2LC)CV_C^2$$LI2=(ω2LC)CVC2​

となる。

すでに

$$\omega^2LC=\frac{164}{169}$$ω2LC=169164​

を得ているので，

$$LI^2=\frac{164}{169}CV_C^2$$LI2=169164​CVC2​

である。

したがって，

$$\overline{E} = \frac{1}{2}LI^2+\frac{1}{2}CV_C^2$$E=21​LI2+21​CVC2​ $$\overline{E} = \frac{1}{2}\cdot\frac{164}{169}CV_C^2+\frac{1}{2}CV_C^2$$E=21​⋅169164​CVC2​+21​CVC2​ $$\overline{E} = \frac{1}{2}\left(\frac{164}{169}+1\right)CV_C^2$$E=21​(169164​+1)CVC2​

である。

$$1=\frac{169}{169}$$1=169169​

だから，

$$\frac{164}{169}+1 = \frac{164}{169}+\frac{169}{169}$$169164​+1=169164​+169169​ $$= \frac{333}{169}$$=169333​

である。

よって，

$$\overline{E} = \frac{1}{2}\cdot\frac{333}{169}CV_C^2$$E=21​⋅169333​CVC2​

である。

$V_C=qV$VC​=qV を代入する

条件より，

$$V_C=qV$$VC​=qV

である。

したがって，

$$V_C^2=q^2V^2$$VC2​=q2V2

である。

よって，

$$\overline{E} = \frac{1}{2}\cdot\frac{333}{169}Cq^2V^2$$E=21​⋅169333​Cq2V2

である。

ここで

$$q=13$$q=13

なので，

$$q^2=169$$q2=169

である。

したがって，

$$\overline{E} = \frac{1}{2}\cdot\frac{333}{169}C\cdot169V^2$$E=21​⋅169333​C⋅169V2 $$\overline{E} = \frac{333}{2}CV^2$$E=2333​CV2

となる。

数値計算

制約より，

$$C=80.0\times10^{-6}\,\mathrm{F}$$C=80.0×10−6F $$V=75.0\,\mathrm{V}$$V=75.0V

である。

したがって，

$$\overline{E} = \frac{333}{2}\times 80.0\times10^{-6}\times (75.0)^2$$E=2333​×80.0×10−6×(75.0)2

である。

まず，

$$(75.0)^2=5625$$(75.0)2=5625

である。

よって，

$$\overline{E} = \frac{333}{2}\times 80.0\times10^{-6}\times 5625$$E=2333​×80.0×10−6×5625

ここで，

$$80.0\times10^{-6}\times 5625 = 450000\times10^{-6}$$80.0×10−6×5625=450000×10−6 $$= 0.450$$=0.450

である。

したがって，

$$\overline{E} = \frac{333}{2}\times0.450$$E=2333​×0.450 $$\overline{E} = 333\times0.225$$E=333×0.225 $$\overline{E} = 74.925\,\mathrm{J}$$E=74.925J

である。

指定された自然数 $N$N を求める

問題で答える量は

$$N=40\overline{E}$$N=40E

である。

したがって，

$$N=40\times74.925$$N=40×74.925

である。

小数を分数として扱うと，

$$74.925=\frac{74925}{1000}$$74.925=100074925​

なので，

$$N=40\times\frac{74925}{1000}$$N=40×100074925​ $$N=\frac{40}{1000}\times74925$$N=100040​×74925 $$N=\frac{1}{25}\times74925$$N=251​×74925 $$N=2997$$N=2997

である。

答え

$$\boxed{2997}$$2997​