GSO005 問題7

波の伝播方向と見かけの速さ

観測者は $y$y 軸上を移動するため、観測者が受け取る波は、波源（原点）から $y$y 軸に沿って進んできた波成分である。

波は波源から全方位に円形（球面）に広がるが、媒質全体が $x$x 軸方向に流速 $\upsilon$υ で動いているため、波面全体が流される。観測者が $y$y 軸上で受け取るのは、波の媒質に対する速度ベクトル $\vec{c} = (c_x, c_y)$c=(cx​,cy​) と媒質の流速 $\vec{\upsilon} = (\upsilon, 0)$υ=(υ,0) の合成速度 $\vec{V}$V が、ちょうど $y$y 軸に沿って進む成分である。

波の固有の速さは $u$u であるから、以下の関係が成り立つ。

$$c_x^2 + c_y^2 = u^2$$cx2​+cy2​=u2

地面（静止系）から見た波の速度ベクトル $\vec{V}$V は、次のように表される。

$$\vec{V} = \vec{c} + \vec{\upsilon} = (c_x + \upsilon, c_y)$$V=c+υ=(cx​+υ,cy​)

波のエネルギーが $y$y 軸に沿って進むためには、地面に対する速度の $x$x 成分が $0$0 でなければならない。よって、

$$c_x + \upsilon = 0 \implies c_x = -\upsilon$$cx​+υ=0⟹cx​=−υ

このとき、波の $y$y 成分（地面に対する進行速度）は、$y>0$y>0 の領域へ進むため $c_y > 0$cy​>0 をとり、

$$V_y = c_y = \sqrt{u^2 - c_x^2} = \sqrt{u^2 - \upsilon^2}$$Vy​=cy​=u2−cx2​​=u2−υ2​

となる。

よって、地面に対する波の速さ $V$V は

$$V = \sqrt{u^2 - \upsilon^2}$$V=u2−υ2​

となる。

ドップラー効果と観測される振動数

次に、観測者が受け取る波の振動数 $f$f（1秒間に受け取る波の数）を考える。

波源は地面に対して静止しているため、波源の速度は $0$0 である。

観測者は波の進行方向（$+y$+y 向き）とは逆向き（$-y$−y 向き）に速さ $v$v で移動している。

波の地面に対する速さは $V$V であるから、観測者から見た波の相対的な速さ（観測者に波が向かってくる速さ）は $V + v$V+v となる。

一方、地面から見た波長 $\lambda$λ を求める。

波源は $1$1 秒間に $\nu$ν 個の波を出し、その波は地面に対して速さ $V$V で進んでいく。波源が静止しているため、波の先端が進んだ距離 $V$V の間に $\nu$ν 個の波が含まれることになる。

したがって、地面から見た波長 $\lambda$λ は、

$$\lambda = \frac{V}{\nu} = \frac{\sqrt{u^2 - \upsilon^2}}{\nu}$$λ=νV​=νu2−υ2​​

となる。

観測者が観測する振動数 $f$f は、相対的な波の速さを波長で割ったものであるから、

$$f = \frac{V + v}{\lambda} = \frac{V + v}{V}\nu = \left(1 + \frac{v}{\sqrt{u^2 - \upsilon^2}}\right)\nu$$f=λV+v​=VV+v​ν=(1+u2−υ2​v​)ν

となる。

波の総数の導出

観測者が位置 $(0, r)$(0,r) から原点 $(0,0)$(0,0) まで速さ $v$v で移動するのにかかる時間 $t$t は、

$$t = \frac{r}{v}$$t=vr​

である。

時刻 $t=0$t=0 にちょうど波のピークが位置しており、そこから新たにすれ違うピークをカウントするため、端数は発生せず、求める総数 $N$N は振動数と時間の積で厳密に求められる。

$$N = f \times t = \left(1 + \frac{v}{\sqrt{u^2 - \upsilon^2}}\right)\nu \times \frac{r}{v} = \frac{\nu r}{v}\left(1 + \frac{v}{\sqrt{u^2 - \upsilon^2}}\right)$$N=f×t=(1+u2−υ2​v​)ν×vr​=vνr​(1+u2−υ2​v​)

展開すると、指定されたすべての視覚的に紛らわしい変数 $\nu, v, u, \upsilon, r$ν,v,u,υ,r が入り乱れる以下の式が得られる。

$$N = \frac{\nu r}{v} + \frac{\nu r}{\sqrt{u^2 - \upsilon^2}}$$N=vνr​+u2−υ2​νr​

数値計算

与えられた制約の数値を代入して計算する。

まず、平方根の部分を計算する。

$$\sqrt{u^2 - \upsilon^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ m/s}$$u2−υ2​=132−52​=169−25​=144​=12 m/s

これを $N$N の式に代入する。

$$N = \frac{252 \times 17}{4} \left(1 + \frac{4}{12}\right)$$N=4252×17​(1+124​) $$N = 63 \times 17 \times \left(1 + \frac{1}{3}\right)$$N=63×17×(1+31​) $$N = 1071 \times \frac{4}{3} = 357 \times 4 = 1428$$N=1071×34​=357×4=1428

よって、新たに観測する波のピークの総数は $1428$1428 個となる。