GSO005 問題6

1. 振動数が最大・最小となる条件の導出

ドップラー効果において、観測者が聞く振動数は、音源の速度の「観測者に向かう視線方向成分」によって決まる。 音源 S から観測者 $A$A に向かう方向への音源の速度成分を $v_r$vr​ （近づく向きを正）とすると、観測される振動数 $f$f は次のように表される。

$$f = \frac{V}{V - v_r} f_0$$f=V−vr​V​f0​

この振動数が最大・最小となるのは、$v_r$vr​ が最大・最小となるときである。 幾何学的に考えると、音源から観測者に引いた直線が円軌道の接線になるとき、音源の速度ベクトル（円の接線方向）は観測者の方向と完全に一致、または正反対を向く。 点 $A$A から円軌道に引いた2本の接線の接点を、第1象限側で $T_1$T1​、第4象限側で $T_2$T2​ とする。 反時計回りの運動において、音源が第4象限の接点 $T_2$T2​ を通過する瞬間、速度ベクトルは点 $A$A の方向を向くため、$v_r = v$vr​=v となり最大となる。 逆に、第1象限の接点 $T_1$T1​ を通過する瞬間、速度ベクトルは点 $A$A から遠ざかる正反対の方向を向くため、$v_r = -v$vr​=−v となり最小となる。 したがって、最大振動数 $f_{max}$fmax​ と最小振動数 $f_{min}$fmin​ は以下の通りとなる。

$$f_{max} = \frac{V}{V - v} f_0$$fmax​=V−vV​f0​ $$f_{min} = \frac{V}{V + v} f_0$$fmin​=V+vV​f0​

2. $f_{max}$fmax​ と $f_{min}$fmin​ の計算

与えられた制約の数値を代入する。

$$f_{max} = \frac{340}{340 - 34} \times 3366 = \frac{340}{306} \times 3366 = \frac{10}{9} \times 3366 = 10 \times 374 = 3740 \text{ Hz}$$fmax​=340−34340​×3366=306340​×3366=910​×3366=10×374=3740 Hz $$f_{min} = \frac{340}{340 + 34} \times 3366 = \frac{340}{374} \times 3366 = \frac{10}{11} \times 3366 = 10 \times 306 = 3060 \text{ Hz}$$fmin​=340+34340​×3366=374340​×3366=1110​×3366=10×306=3060 Hz

3. $N_1, N_2$N1​,N2​ の考え方

波の追い越しは発生しないため（$V > v$V>v），観測者が一定期間に受け取る音波の位相の変化量は、音源が該当する期間に発した音波の位相の変化量と等しい。 接点 $T_2$T2​ で発せられた音が観測者に届く時刻を $t_{r1}$tr1​、接点 $T_1$T1​ で発せられた音が観測者に届く時刻を $t_{r2}$tr2​ とする。 それぞれの発音時刻を $t_{e1}, t_{e2}$te1​,te2​ とすると、

$$t_{r1} = t_{e1} + \frac{AT_2}{V}$$tr1​=te1​+VAT2​​ $$t_{r2} = t_{e2} + \frac{AT_1}{V}$$tr2​=te2​+VAT1​​

図形の対称性（$\triangle OAT_1 \equiv \triangle OAT_2$△OAT1​≡△OAT2​）より、観測者から接点までの距離は等しく、$AT_1 = AT_2 = \sqrt{L^2 - R^2}$AT1​=AT2​=L2−R2​ である。 したがって、音波の伝播時間は等しくなり、観測時間 $\Delta t_{obs} = t_{r2} - t_{r1}$Δtobs​=tr2​−tr1​ は発音時間 $\Delta t = t_{e2} - t_{e1}$Δt=te2​−te1​ と完全に一致する。 よって、観測する位相の変化量を $2\pi$2π で割った値は、単に $N = f_0 \Delta t$N=f0​Δt として求められる。

4. $N_1$N1​ および $k_1$k1​ の計算

音源が $T_2$T2​ から $T_1$T1​ へ移動する経路は、円の右側の弧である。 直角三角形 $OAT_1$OAT1​ において、$\cos(\angle AOT_1) = \frac{R}{L} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$cos(∠AOT1​)=LR​=2010​=21​ より、$\angle AOT_1 = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$∠AOT1​=3π​ rad。 対称性から $\angle AOT_2 = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$∠AOT2​=3π​ rad であるため、移動する中心角は $\theta_1 = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}$θ1​=32π​ rad となる。 音源の角速度 $\omega$ω は、$\omega = \frac{v}{R} = \frac{34}{10} = \frac{17}{5} \text{ rad/s}$ω=Rv​=1034​=517​ rad/s。 移動にかかる時間 $\Delta t_1$Δt1​ は、

$$\Delta t_1 = \frac{\theta_1}{\omega} = \frac{2\pi/3}{17/5} = \frac{10\pi}{51} \text{ s}$$Δt1​=ωθ1​​=17/52π/3​=5110π​ s

この間に発せられた音波の位相の変化量を $2\pi$2π で割った値 $N_1$N1​ は、

$$N_1 = f_0 \Delta t_1 = 3366 \times \frac{10\pi}{51} = 66 \times 10\pi = 660\pi$$N1​=f0​Δt1​=3366×5110π​=66×10π=660π

よって、$k_1 = 660$k1​=660。

5. $N_2$N2​ および $k_2$k2​ の計算

音源が $T_1$T1​ から $T_2$T2​ へ移動する経路は、円の左側の弧である。 移動する中心角は $\theta_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad}$θ2​=2π−32π​=34π​ rad となる。 移動にかかる時間 $\Delta t_2$Δt2​ は、

$$\Delta t_2 = \frac{\theta_2}{\omega} = \frac{4\pi/3}{17/5} = \frac{20\pi}{51} \text{ s}$$Δt2​=ωθ2​​=17/54π/3​=5120π​ s

この間に発せられた音波の位相の変化量を $2\pi$2π で割った値 $N_2$N2​ は、

$$N_2 = f_0 \Delta t_2 = 3366 \times \frac{20\pi}{51} = 66 \times 20\pi = 1320\pi$$N2​=f0​Δt2​=3366×5120π​=66×20π=1320π

よって、$k_2 = 1320$k2​=1320。

6. 最終回答の計算

求める値 $S$S は、

$$S = f_{max} + f_{min} + k_1 + k_2 = 3740 + 3060 + 660 + 1320 = 8780$$S=fmax​+fmin​+k1​+k2​=3740+3060+660+1320=8780