GSO005 問題3

1. 各物質が失う熱量と得る熱量の定式化

外部との熱のやり取りがなく、容器の熱容量も無視できるため、熱量保存の法則が成り立ちます。 すなわち、「空気が失った熱量」と「氷（および水）が得た熱量」は等しくなります。

まず、温度 $T_1$T1​ の空気が $T_3$T3​ まで冷却される際に失う熱量 $Q_{\text{out}}$Qout​ は、体積が一定の定積変化であるため以下のように表されます。 $Q_{\text{out}} = m_a c_v (T_1 - T_3)$Qout​=ma​cv​(T1​−T3​)

次に、温度 $T_2$T2​ の氷が熱を吸収し、最終的に温度 $T_3$T3​ の水になるまでに得る熱量 $Q_{\text{in}}$Qin​ を考えます。これは以下の3つの過程に分けられます。

1. 氷が $T_2$T2​ から融点 $T_0$T0​ まで温度上昇するのに必要な熱量: $Q_1 = m_i c_i (T_0 - T_2)$Q1​=mi​ci​(T0​−T2​)
2. 融点 $T_0$T0​ で氷がすべて水に融解するのに必要な熱量: $Q_2 = m_i L$Q2​=mi​L
3. 融解した水が $T_0$T0​ から $T_3$T3​ まで温度上昇するのに必要な熱量: $Q_3 = m_i c_w (T_3 - T_0)$Q3​=mi​cw​(T3​−T0​)

これらを足し合わせると、氷と水が得た総熱量 $Q_{\text{in}}$Qin​ は、 $Q_{\text{in}} = m_i \{ c_i (T_0 - T_2) + L + c_w (T_3 - T_0) \}$Qin​=mi​{ci​(T0​−T2​)+L+cw​(T3​−T0​)} となります。

2. 熱量保存の法則に基づく方程式の構築

熱量保存の法則より、$Q_{\text{out}} = Q_{\text{in}}$Qout​=Qin​ であるから、 $m_a c_v (T_1 - T_3) = m_i \{ c_i (T_0 - T_2) + L + c_w (T_3 - T_0) \}$ma​cv​(T1​−T3​)=mi​{ci​(T0​−T2​)+L+cw​(T3​−T0​)}

この式を未知数である $T_3$T3​ について解くために展開し、整理します。 $m_a c_v T_1 - m_a c_v T_3 = m_i c_i (T_0 - T_2) + m_i L + m_i c_w T_3 - m_i c_w T_0$ma​cv​T1​−ma​cv​T3​=mi​ci​(T0​−T2​)+mi​L+mi​cw​T3​−mi​cw​T0​ $T_3$T3​ を含む項を右辺へ、含まない項を左辺へ移項してまとめます。 $m_a c_v T_1 + m_i c_w T_0 - m_i \{ c_i (T_0 - T_2) + L \} = (m_a c_v + m_i c_w) T_3$ma​cv​T1​+mi​cw​T0​−mi​{ci​(T0​−T2​)+L}=(ma​cv​+mi​cw​)T3​

したがって、求める温度 $T_3$T3​ の式は以下のようになります。 $T_3 = \frac{m_a c_v T_1 + m_i c_w T_0 - m_i \{ c_i (T_0 - T_2) + L \}}{m_a c_v + m_i c_w}$T3​=ma​cv​+mi​cw​ma​cv​T1​+mi​cw​T0​−mi​{ci​(T0​−T2​)+L}​

3. 数値の代入と計算

与えられた制約の数値をそれぞれの項に代入していきます。

まず、分母にあたる熱容量の合計を計算します。 $m_a c_v = 35 \times 720 = 25200 \text{ J/K}$ma​cv​=35×720=25200 J/K $m_i c_w = 0.8 \times 4200 = 3360 \text{ J/K}$mi​cw​=0.8×4200=3360 J/K $\text{分母} = 25200 + 3360 = 28560 \text{ J/K}$分母=25200+3360=28560 J/K

次に分子の各項を計算します。 1項目の空気の初期保有熱量に相当する項： $m_a c_v T_1 = 25200 \times 308 = 7761600 \text{ J}$ma​cv​T1​=25200×308=7761600 J

2項目の水の基準温度に関する項： $m_i c_w T_0 = 3360 \times 273 = 917280 \text{ J}$mi​cw​T0​=3360×273=917280 J

3項目の氷の昇温と融解に必要な熱量の項： $T_0 - T_2 = 273 - 248 = 25 \text{ K}$T0​−T2​=273−248=25 K $c_i (T_0 - T_2) + L = 2100 \times 25 + 336000 = 52500 + 336000 = 388500 \text{ J/kg}$ci​(T0​−T2​)+L=2100×25+336000=52500+336000=388500 J/kg $m_i \{ c_i (T_0 - T_2) + L \} = 0.8 \times 388500 = 310800 \text{ J}$mi​{ci​(T0​−T2​)+L}=0.8×388500=310800 J

分子全体を足し引きします： $\text{分子} = 7761600 + 917280 - 310800 = 8678880 - 310800 = 8368080 \text{ J}$分子=7761600+917280−310800=8678880−310800=8368080 J

最後に、分子を分母で割って $T_3$T3​ を求めます。 $T_3 = \frac{8368080}{28560} = \frac{836808}{2856} = 293 \text{ K}$T3​=285608368080​=2856836808​=293 K

よって、最終的な熱平衡時の温度は $293 \text{ K}$293 K （摂氏 $20\text{ }^\circ\text{C}$20 ∘C であり、涼しい部屋の温度）となります。