GSO003 問題8

本問は、一見すると単純な静力学の問題に見えますが、「糸を引っ張ることで動滑車の空間的な位置 $(x, y)$(x,y) がどのように変化するか」という**幾何学的な拘束条件（軌跡）**を自力で導出する必要があります。物理的直感と高度な数学的処理が融合した総合問題です。

1. 張力の水平・鉛直成分のつり合い

動滑車の位置を $\text{P}(x, y)$P(x,y) とします。 動滑車は滑らかであるため、動滑車の両側に張られた糸の張力は、引っ張っている力 $F$F と等しくなります。

動滑車 $\text{P}$P から固定点 $\text{A}$A に向かう糸が鉛直線（$y$y 軸に平行な線）となす角を $\theta_\text{A}$θA​、定滑車 $\text{B}$B に向かう糸が鉛直線となす角を $\theta_\text{B}$θB​ とします。 動滑車に働く力は以下の3つです。

1. 点 $\text{A}$A に向かう張力 $F$F
2. 点 $\text{B}$B に向かう張力 $F$F
3. 鉛直下向きの重力 $Mg$Mg

水平方向（$x$x 軸方向）の力のつり合いより、

$$-F \sin \theta_\text{A} + F \sin \theta_\text{B} = 0 \quad \implies \quad \sin \theta_\text{A} = \sin \theta_\text{B}$$−FsinθA​+FsinθB​=0⟹sinθA​=sinθB​

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$0<θ<2π​ の範囲で考えると、$\theta_\text{A} = \theta_\text{B}$θA​=θB​ となります。 すなわち、動滑車の両側の糸は、常に鉛直線に対して対称な角度 $\theta$θ をなすことがわかります。

鉛直方向（$y$y 軸方向）の力のつり合いより、上向きの張力の成分と下向きの重力がつり合うため、

$$F \cos \theta + F \cos \theta - Mg = 0 \quad \implies \quad 2F \cos \theta = Mg \quad \cdots (1)$$Fcosθ+Fcosθ−Mg=0⟹2Fcosθ=Mg⋯(1)

この式から、力 $F$F を求めるためには、その瞬間の角度 $\theta$θ（の余弦）を特定すればよいことがわかります。

2. 動滑車の軌跡の方程式の導出

次に、角度の条件 $\theta_\text{A} = \theta_\text{B} = \theta$θA​=θB​=θ を座標を用いて表します。 点 $\text{P}(x, y)$P(x,y) は定滑車 $\text{B}(L, 0)$B(L,0) よりも低い位置にあるため、$y < 0$y<0 となります。 幾何学的な関係から、$\tan \theta$tanθ は直角三角形の「底辺 / 高さ」として表せます。

点 $\text{A}(0, H)$A(0,H) と点 $\text{P}(x, y)$P(x,y) について：

$$\tan \theta_\text{A} = \frac{x}{H - y}$$tanθA​=H−yx​

点 $\text{B}(L, 0)$B(L,0) と点 $\text{P}(x, y)$P(x,y) について：

$$\tan \theta_\text{B} = \frac{L - x}{0 - y} = \frac{L - x}{-y}$$tanθB​=0−yL−x​=−yL−x​

$\theta_\text{A} = \theta_\text{B}$θA​=θB​ より、$\tan \theta_\text{A} = \tan \theta_\text{B}$tanθA​=tanθB​ が成り立つため、

$$\frac{x}{H - y} = \frac{L - x}{-y}$$H−yx​=−yL−x​

この等式を整理して、動滑車が描く軌跡の方程式を求めます。

$$-xy = (H - y)(L - x)$$−xy=(H−y)(L−x) $$-xy = HL - Hx - Ly + xy$$−xy=HL−Hx−Ly+xy $$2xy - Ly - Hx + HL = 0$$2xy−Ly−Hx+HL=0 $$y(2x - L) = H(x - L)$$y(2x−L)=H(x−L) $$y = \frac{H(x - L)}{2x - L} \quad \cdots (2)$$y=2x−LH(x−L)​⋯(2)

この式は、なんと直角双曲線を表しています。 $x$x の定義域は $\frac{L}{2} < x < L$2L​<x<L であり、糸を引っ張って短くしていくと、$x \to L$x→L、$y \to 0$y→0、つまり定滑車 $\text{B}$B に向かって「右上方」へ移動していくことが数学的に証明されました。

3. 指定された瞬間における位置と角度の計算

問題で問われているのは、$x = \frac{3}{4}L$x=43​L となる瞬間です。 この $x$x を軌跡の方程式 (2) に代入し、$y$y 座標を求めます。

$$y = \frac{H \left( \frac{3}{4}L - L \right)}{2 \left( \frac{3}{4}L \right) - L} = \frac{H \left( -\frac{1}{4}L \right)}{\frac{3}{2}L - L} = \frac{-\frac{1}{4}HL}{\frac{1}{2}L} = -\frac{1}{2}H$$y=2(43​L)−LH(43​L−L)​=23​L−LH(−41​L)​=21​L−41​HL​=−21​H

したがって、この瞬間の動滑車の座標は $\text{P} \left( \frac{3}{4}L, -\frac{1}{2}H \right)$P(43​L,−21​H) となります。

このときの $\tan \theta$tanθ を求めます。

$$\tan \theta = \frac{x}{H - y} = \frac{\frac{3}{4}L}{H - \left( -\frac{1}{2}H \right)} = \frac{\frac{3}{4}L}{\frac{3}{2}H} = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{H}$$tanθ=H−yx​=H−(−21​H)43​L​=23​H43​L​=21​⋅HL​

4. 数値の代入と力 $F$F の算出

制約の数値 $H = 2.0$H=2.0、$L = 3.0$L=3.0 を代入します。

$$\tan \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{3.0}{2.0} = \frac{3}{4}$$tanθ=21​⋅2.03.0​=43​

$\tan \theta = \frac{3}{4}$tanθ=43​ である直角三角形の斜辺は $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$32+42​=5 なので、

$$\cos \theta = \frac{4}{5}$$cosθ=54​

となります。

最後に、これを力のつり合いの式 (1) に代入して $F$F を求めます。

$$2F \left( \frac{4}{5} \right) = Mg$$2F(54​)=Mg $$\frac{8}{5}F = Mg \quad \implies \quad F = \frac{5}{8}Mg$$58​F=Mg⟹F=85​Mg

$M = 16$M=16、$g = 9.8$g=9.8 を代入します。

$$F = \frac{5}{8} \times 16 \times 9.8 = 5 \times 2 \times 9.8 = 10 \times 9.8 = 98 \text{ [N]}$$F=85​×16×9.8=5×2×9.8=10×9.8=98 [N]

答え： 98