GSO003 問題3

本問題は、静電気学の歴史的な実験器具である「クーロンのねじり天秤」を題材に、クーロンの法則の基本式と「導体球同士の接触による電荷の移動と再分配」という現象を組み合わせて立式し、未知の電荷量を逆算する問題です。

1. 接触前の状態の立式（引力 $F_1$F1​）

初期状態において、球Aは $+Q_A$+QA​、球Bは $-Q_B$−QB​ に帯電しています。これらが距離 $r$r 離れているとき、異符号の電荷間に働くクーロン力（引力）の大きさ $F_1$F1​ は以下の式で表されます。

$$F_1 = k \frac{Q_A Q_B}{r^2}$$F1​=kr2QA​QB​​

この式を変形し、$Q_A Q_B$QA​QB​ について解き、与えられた数値を代入します。

$$Q_A Q_B = \frac{F_1 r^2}{k} = \frac{(2.4 \times 10^{-4}) \times (3.0 \times 10^{-2})^2}{9.0 \times 10^9}$$QA​QB​=kF1​r2​=9.0×109(2.4×10−4)×(3.0×10−2)2​ $$Q_A Q_B = \frac{2.4 \times 10^{-4} \times 9.0 \times 10^{-4}}{9.0 \times 10^9} = 2.4 \times 10^{-17} = 24 \times 10^{-18} \text{ C}^2$$QA​QB​=9.0×1092.4×10−4×9.0×10−4​=2.4×10−17=24×10−18 C2

2. 接触後の状態の立式（斥力 $F_2$F2​）

同じ大きさの導体球AとBを接触させると、系全体の総電荷量 $+Q_A + (-Q_B) = Q_A - Q_B$+QA​+(−QB​)=QA​−QB​ が保存されたまま、両方の球に等しく分配されます。 したがって、接触後の球Aおよび球Bが持つ電荷 $Q'$Q′ はそれぞれ以下のようになります。

$$Q' = \frac{Q_A - Q_B}{2}$$Q′=2QA​−QB​​

再び距離 $r$r だけ離したとき、同符号の電荷間に働くクーロン力（斥力）の大きさ $F_2$F2​ は以下の式で表されます。

$$F_2 = k \frac{(Q')^2}{r^2} = k \frac{\left( \frac{Q_A - Q_B}{2} \right)^2}{r^2} = k \frac{(Q_A - Q_B)^2}{4r^2}$$F2​=kr2(Q′)2​=kr2(2QA​−QB​​)2​=k4r2(QA​−QB​)2​

この式を変形し、$(Q_A - Q_B)^2$(QA​−QB​)2 について解き、数値を代入します。

$$(Q_A - Q_B)^2 = \frac{4 F_2 r^2}{k} = \frac{4 \times (1.0 \times 10^{-5}) \times (3.0 \times 10^{-2})^2}{9.0 \times 10^9}$$(QA​−QB​)2=k4F2​r2​=9.0×1094×(1.0×10−5)×(3.0×10−2)2​ $$(Q_A - Q_B)^2 = \frac{4.0 \times 10^{-5} \times 9.0 \times 10^{-4}}{9.0 \times 10^9} = 4.0 \times 10^{-18} \text{ C}^2$$(QA​−QB​)2=9.0×1094.0×10−5×9.0×10−4​=4.0×10−18 C2

問題の条件より $Q_A > Q_B$QA​>QB​ であるため、$Q_A - Q_B > 0$QA​−QB​>0 となります。よって平方根をとると、

$$Q_A - Q_B = \sqrt{4.0 \times 10^{-18}} = 2.0 \times 10^{-9} \text{ C}$$QA​−QB​=4.0×10−18​=2.0×10−9 C

3. 未知数 $Q_A, Q_B$QA​,QB​ の算出

次に、$Q_A + Q_B$QA​+QB​ を求めます。乗法公式 $(Q_A + Q_B)^2 = (Q_A - Q_B)^2 + 4Q_A Q_B$(QA​+QB​)2=(QA​−QB​)2+4QA​QB​ を用います。 ステップ1と2で求めた値を代入します。

$$(Q_A + Q_B)^2 = (4.0 \times 10^{-18}) + 4 \times (24 \times 10^{-18})$$(QA​+QB​)2=(4.0×10−18)+4×(24×10−18) $$(Q_A + Q_B)^2 = 4.0 \times 10^{-18} + 96 \times 10^{-18} = 100 \times 10^{-18} \text{ C}^2$$(QA​+QB​)2=4.0×10−18+96×10−18=100×10−18 C2

$Q_A > 0, Q_B > 0$QA​>0,QB​>0 より $Q_A + Q_B > 0$QA​+QB​>0 であるため、平方根をとります。

$$Q_A + Q_B = \sqrt{100 \times 10^{-18}} = 10 \times 10^{-9} \text{ C}$$QA​+QB​=100×10−18​=10×10−9 C

これで和と差の連立方程式が得られました。

$$\begin{cases} Q_A + Q_B = 10 \times 10^{-9} \\ Q_A - Q_B = 2.0 \times 10^{-9} \end{cases}$${QA​+QB​=10×10−9QA​−QB​=2.0×10−9​

2つの式を足し合わせると、

$$2Q_A = 12 \times 10^{-9} \implies Q_A = 6.0 \times 10^{-9} \text{ C}$$2QA​=12×10−9⟹QA​=6.0×10−9 C

上の式から下の式を引くと、

$$2Q_B = 8.0 \times 10^{-9} \implies Q_B = 4.0 \times 10^{-9} \text{ C}$$2QB​=8.0×10−9⟹QB​=4.0×10−9 C

4. 最終結果の計算

得られた $Q_A, Q_B$QA​,QB​ は、それぞれ $6 \times 10^{-9} \text{ C}$6×10−9 C、$4 \times 10^{-9} \text{ C}$4×10−9 C です。これは現実の静電気実験においてごく一般的なナノクーロン（$\text{nC}$nC）オーダーの電荷量です。

入力形式の定義 $Q_A = x \times 10^{-9} \text{ C}$QA​=x×10−9 C、$Q_B = y \times 10^{-9} \text{ C}$QB​=y×10−9 C に当てはめると、

• $x = 6$x=6
• $y = 4$y=4

となります。最後に指定された計算式 $10x + y$10x+y を計算します。

$$10 \times 6 + 4 = 64$$10×6+4=64

したがって、回答すべき自然数は 64 となります。