GSO003 問題1

1. 光の直進性と折り返しの原理

光は均一な媒質中を直進し、鏡面に当たると反射します。 この軌跡を折れ線として計算するのは煩雑なため、鏡の向こう側に反転した仮想空間（鏡像空間）を想定する「折り返しの原理」を利用します。これにより、光は何回反射しても「1本の直線」として進み続けるものとして扱うことができ、総移動距離 $L$L は直線の長さとして1ステップで計算可能になります。

2. 鏡像空間の構築（目標点の追跡）

レーザー光は「北の壁 $\rightarrow$→ 東の壁」の順に反射し、最終的に「南の壁の中点のセンサー」に到達します。 これを鏡像空間の展開によって追跡します。元の空間での目標点（センサー）の座標は $(W/2, 0)$(W/2,0) です。

① 北の壁（$y = D$y=D）での1回目の反射 最初の反射は北の壁で行われます。部屋全体を直線 $y = D$y=D を軸として上側に線対称に折り返します。 このとき、目標点 $(W/2, 0)$(W/2,0) も折り返され、1回目の鏡像空間における目標点の座標は以下のようになります。

$$(x_1, y_1) = \left(\frac{W}{2}, 2D\right)$$(x1​,y1​)=(2W​,2D)

② 東の壁（$x = W$x=W）での2回目の反射 次に光は東の壁で反射します。ここで折り返す対象は、元の空間ではなく**「すでに1回目で折り返された後の鏡像空間」**です。 したがって、直線 $x = W$x=W を軸として、先ほどの目標点 $(x_1, y_1) = (W/2, 2D)$(x1​,y1​)=(W/2,2D) を右側に線対称に折り返します。 新しい $x$x 座標 $x_2$x2​ は以下のようになります。

$$x_2 = W + \left( W - \frac{W}{2} \right) = \frac{3}{2}W = 1.5W$$x2​=W+(W−2W​)=23​W=1.5W

$y$y 座標はそのまま $2D$2D です。

③ 最終的な目的地 上記2回の折り返しにより、最終目的地は鏡像空間において以下の座標にマッピングされます。

$$(x_{target}, y_{target}) = (1.5W, 2D)$$(xtarget​,ytarget​)=(1.5W,2D)

光はこの仮想空間において、原点 $(0,0)$(0,0) から目的地 $(1.5W, 2D)$(1.5W,2D) まで一直線に進んだことになります。

3. 総移動距離の算出

直進した光の総移動距離 $L$L は、三平方の定理を用いて原点から目的地までの直線距離として計算できます。

$$L = \sqrt{(1.5W)^2 + (2D)^2}$$L=(1.5W)2+(2D)2​

制約 $W = 36\,\text{m}$W=36m、$D = 36\,\text{m}$D=36m を代入します。

$$1.5W = 1.5 \times 36 = 54\,\text{m}$$1.5W=1.5×36=54m $$2D = 2 \times 36 = 72\,\text{m}$$2D=2×36=72m

これらを距離の公式に代入します。

$$L = \sqrt{54^2 + 72^2}$$L=542+722​

$54$54 と $72$72 はどちらも $18$18 の倍数（$54 = 18 \times 3$54=18×3、$72 = 18 \times 4$72=18×4）であるため、

$$L = \sqrt{18^2 \times (3^2 + 4^2)} = 18 \times \sqrt{25} = 18 \times 5 = 90\,\text{m}$$L=182×(32+42)​=18×25​=18×5=90m

4. 軌跡の妥当性確認

光が他の壁にぶつからず、本当に指定された順序で反射するかを証明します。 原点 $(0,0)$(0,0) と目的地 $(54, 72)$(54,72) を結ぶ光の直線の方程式は以下の通りです。

$$y = \frac{72}{54}x = \frac{4}{3}x$$y=5472​x=34​x

• 第1区間（元の空間）: 原点を出発後、最初に北の壁（$y = 36$y=36）に到達する $x$x 座標は $36 = \frac{4}{3}x \implies x = 27\,\text{m}$36=34​x⟹x=27m です。これは $0 < x < 36$0<x<36 の範囲に収まっており、途中で東や西の壁に当たることはありません。
• 第2区間（1回目の鏡像空間）: $x = 27$x=27 から進み、次に東の壁（$x = 36$x=36）に到達する $y$y 座標は $y = \frac{4}{3} \times 36 = 48\,\text{m}$y=34​×36=48m です。これは $36 < y < 72$36<y<72 の範囲に収まっており、北の壁のさらに奥（$y=72$y=72）や西の壁に当たることはありません。
• 第3区間（2回目の鏡像空間）: 東の壁（$x = 36$x=36）を通過後、$x$x は単調増加するため西の壁（$x=0$x=0 や $x=36$x=36 に相当する壁）に再び当たることはありません。そのまま最終目的地 $(54, 72)$(54,72) に到達します。

以上より、光は指定された順序のみで反射し、正しくセンサーに到達することが証明されました。 したがって、総移動距離は $90\,\text{m}$90m となります。

答え：90