GSO002 問題9

1. 質量欠損と放出エネルギーの計算

まず、核融合反応における質量欠損 $\Delta m$ を計算します。反応前の質量の和から、反応後の質量の和を引きます。

\begin{aligned} \Delta m &= (m_D + m_T) - (m_{\alpha} + m_n) \\ &= (3.30 + 4.95) \times 10^{-27} - (6.40 + 1.60) \times 10^{-27} \\ &= 8.25 \times 10^{-27} - 8.00 \times 10^{-27} \\ &= 0.25 \times 10^{-27}\text{ kg} \end{aligned}

この質量欠損が、アインシュタインのエネルギーの式 $E = \Delta m c^2$ に従い、生成物の総運動エネルギー $Q$ として放出されます。

\begin{aligned} Q &= \Delta m c^2 \\ &= (0.25 \times 10^{-27}) \times (3.0 \times 10^8)^2 \\ &= 0.25 \times 10^{-27} \times 9.0 \times 10^{16} \\ &= 2.25 \times 10^{-11}\text{ J} \end{aligned}

2. 運動量保存則とエネルギーの分配（古典力学の適用）

反応前、重水素と三重水素は静止していたため、系の全運動量は $\vec{0}$ です。したがって、反応後のアルファ粒子と中性子の運動量をそれぞれ $\vec{p}_{\alpha}$ 、 $\vec{p}_n$ とすると、運動量保存則より以下の関係が成り立ちます。

\vec{p}_{\alpha} + \vec{p}_n = \vec{0}

これにより、両者は互いに逆向きで、運動量の大きさ（絶対値）が等しいことがわかります。この運動量の大きさを $p$ と置きます（ $|\vec{p}_{\alpha}| = |\vec{p}_n| = p$ ）。

問題文の指示に従い、ここでは非相対論的力学（古典力学）を適用します。運動エネルギー $K$ は運動量 $p$ と質量 $m$ を用いて $K = \frac{p^2}{2m}$ と表せるため、エネルギー保存則は以下のように立式できます。

\frac{p^2}{2m_{\alpha}} + \frac{p^2}{2m_n} = Q

この式を $p^2$ について解き、運動量 $p$ を求めます。

\begin{aligned} p^2 \left( \frac{1}{2m_{\alpha}} + \frac{1}{2m_n} \right) &= Q \\ p^2 \left( \frac{m_{\alpha} + m_n}{2 m_{\alpha} m_n} \right) &= Q \\ p^2 &= \frac{2 m_{\alpha} m_n}{m_{\alpha} + m_n} Q \end{aligned}

数値を代入して計算します。まず質量の項を整理します。 $m_{\alpha} + m_n = 8.00 \times 10^{-27}\text{ kg}$ $m_{\alpha} m_n = (6.40 \times 10^{-27}) \times (1.60 \times 10^{-27}) = 10.24 \times 10^{-54}\text{ kg}^2$

\begin{aligned} \frac{2 m_{\alpha} m_n}{m_{\alpha} + m_n} &= \frac{2 \times 10.24 \times 10^{-54}}{8.00 \times 10^{-27}} \\ &= \frac{20.48}{8.00} \times 10^{-27} \\ &= 2.56 \times 10^{-27}\text{ kg} \end{aligned}

これを用いて $p^2$ を求めます。

\begin{aligned} p^2 &= (2.56 \times 10^{-27}) \times (2.25 \times 10^{-11}) \\ &= 5.76 \times 10^{-38}\text{ (kg}\cdot\text{m/s)}^2 \end{aligned}

平方根をとることで、 $p$ の値が得られます（ $5.76 = 2.4^2$ に着目します）。

p = 2.40 \times 10^{-19}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

3. アルファ粒子の円運動と半径の導出

アルファ粒子（電荷 $q = +2e$ ）は、磁束密度 $B$ の磁場と垂直な $xy$ 平面内を速さ $v$ で運動するため、ローレンツ力 $f = qvB$ を向心力として等速円運動を行います。円運動の運動方程式は以下の通りです。

m_{\alpha} \frac{v^2}{R} = qvB

これを軌道半径 $R$ について解き、運動量 $p = m_{\alpha} v$ を用いて書き換えます。

R = \frac{m_{\alpha} v}{qB} = \frac{p}{2eB}

4. 数値代入と最終解答

得られた文字式に数値を代入し、半径 $R$ を求めます。

\begin{aligned} R &= \frac{2.40 \times 10^{-19}}{2 \times (1.60 \times 10^{-19}) \times 0.60} \\ &= \frac{2.40 \times 10^{-19}}{3.20 \times 10^{-19} \times 0.60} \\ &= \frac{2.40}{1.92} \end{aligned}

計算を進めると、美しく約分されます。

R = \frac{240}{192} = \frac{120}{96} = \frac{60}{48} = \frac{10}{8} = 1.25\text{ m}

したがって、アルファ粒子の円運動の半径は $1.25\text{ m}$ となります。入力形式の指示に従い、この値を100倍します。

1.25 \times 100 = 125

最終解答は「125」となります。

GSO002 問題9

磁場閉じ込め式核融合炉における質量欠損と粒子の運動

問題文

制約

入力形式

解説

1. 質量欠損と放出エネルギーの計算

2. 運動量保存則とエネルギーの分配（古典力学の適用）

3. アルファ粒子の円運動と半径の導出

4. 数値代入と最終解答