GSO002 問題5

本問は、流体の運動量変化と力積の関係を正しく理解し、立式できるかを問う問題である。

1. 微小時間における質量の特定

まず、微小時間 $\Delta t \ [\text{s}]$Δt [s] の間に厚板に衝突する水の質量 $\Delta m \ [\text{kg}]$Δm [kg] を考える。 速さ $v$v で流れる水流が $\Delta t$Δt の間に進む距離は $v \Delta t$vΔt である。この間にノズルから噴出され、板に衝突する水の体積 $\Delta V$ΔV は、断面積 $S$S を用いて次のように表される。

$$\Delta V = S \cdot (v \Delta t)$$ΔV=S⋅(vΔt)

したがって、衝突する水の質量 $\Delta m$Δm は、密度 $\rho$ρ を用いて以下のようになる。

$$\Delta m = \rho \Delta V = \rho S v \Delta t$$Δm=ρΔV=ρSvΔt

2. 運動量変化と力積の関係

次に、$x$x 方向の運動量の変化に注目する。 衝突直前の水の $x$x 方向の速度は $v$v であり、衝突直後の $x$x 方向の速度は $0$0 である。 したがって、質量 $\Delta m$Δm の水が厚板から受ける $x$x 方向の力積 $I_x$Ix​ は、運動量の変化量に等しいため：

$$I_x = 0 - (\Delta m \cdot v) = - \rho S v^2 \Delta t$$Ix​=0−(Δm⋅v)=−ρSv2Δt

作用・反作用の法則より、厚板が水から受ける力積 $\Delta I$ΔI は、これと逆向きで大きさの等しい量となる。

$$\Delta I = \rho S v^2 \Delta t$$ΔI=ρSv2Δt

3. 平均的な力の導出

厚板が水流から受ける平均的な力の大きさ $F$F は、力積を時間で割ることで求められる。

$$F = \frac{\Delta I}{\Delta t} = \rho S v^2$$F=ΔtΔI​=ρSv2

この式は、単位時間あたりに衝突する水の運動量の変化が、そのまま板にかかる力になることを示している。

4. 数値計算

与えられた制約数値を代入して、まず力 $F$F を算出する。

$$\begin{aligned} F &= (1.0 \times 10^3) \times (1.25 \times 10^{-6}) \times (640)^2 \\ &= 1.25 \times 10^{-3} \times 409600 \\ &= 1.25 \times 409.6 \\ &= 512 \ \text{N} \end{aligned}$$F​=(1.0×103)×(1.25×10−6)×(640)2=1.25×10−3×409600=1.25×409.6=512 N​

この力 $F$F が時間 $T = 8.0 \ \text{s}$T=8.0 s の間継続して加わるため、求める合計の力積 $I$I は以下の通りとなる。

$$\begin{aligned} I &= F \times T \\ &= 512 \times 8.0 \\ &= 4096 \ \text{N}\cdot\text{s} \end{aligned}$$I​=F×T=512×8.0=4096 N⋅s​

答え：4096