GSO002 問題4

1. 凸レンズの写像公式の適用

凸レンズにおいて、物体からレンズまでの距離を $a$a、レンズから像までの距離を $b$b、焦点距離を $f$f とすると、以下の写像公式が成り立ちます。

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$a1​+b1​=f1​

本問では、正立の虚像が形成されているため、像の性質から $b$b は負の値（$b < 0$b<0）となります。与えられた数値 $a = 90$a=90 $\text{mm}$mm、$f = 120$f=120 $\text{mm}$mm を代入して、像の位置 $b$b を求めます。

$$\frac{1}{90} + \frac{1}{b} = \frac{1}{120}$$901​+b1​=1201​

これを $\frac{1}{b}$b1​ について整理します。

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{120} - \frac{1}{90}$$b1​=1201​−901​

右辺を通分して計算します（最小公倍数は $360$360 です）。

$$\frac{1}{b} = \frac{3}{360} - \frac{4}{360} = -\frac{1}{360}$$b1​=3603​−3604​=−3601​

したがって、像の位置は以下の通りとなります。

$$b = -360\text{ [mm]}$$b=−360 [mm]

この負号は、像が物体と同じ側（レンズの前方）にできる「虚像」であることを示しています。

2. 倍率 $m$m の算出

レンズによる像の倍率 $m$m は、物体距離 $a$a と像距離の絶対値 $|b|$∣b∣ の比で表されます。

$$m = \frac{|b|}{a}$$m=a∣b∣​

求めた $b = -360$b=−360 と、与えられた $a = 90$a=90 を代入します。

$$m = \frac{|-360|}{90} = \frac{360}{90} = 4$$m=90∣−360∣​=90360​=4

これにより、このルーペによって像の大きさは実物の $4$4 倍に拡大されていることがわかります。

3. 像の長さ $L'$L′ の決定

最後に、実物の長さ $L = 7$L=7 $\text{mm}$mm に倍率 $m = 4$m=4 を掛けることで、虚像の長さ $L'$L′ を求めます。

$$L' = m \times L = 4 \times 7 = 28\text{ [mm]}$$L′=m×L=4×7=28 [mm]

答え: 28