GSO002 問題14

本問は、気体分子運動論の応用として、動く物体が受ける抵抗力をミクロな視点から積分を用いて厳密に導出する、東京大学などの難関大二次試験で出題されうる最高難度のテーマです。

平板が受ける抵抗力は、平板の「前面」が受ける圧力 $P_f$Pf​ と、「後面」が受ける圧力 $P_b$Pb​ の差から生じます。それぞれについて、分子と平板の相対速度を考慮して単位時間あたりの衝突回数と力積を計算します。

1. 前面が受ける圧力 $P_f$Pf​ の導出

まず、平板に乗った観測者の視点（平板とともに速度 $V$V で動く系）で考えます。 空間に対して速度ベクトル $\vec{v} = (v_0 \sin\theta \cos\phi, v_0 \sin\theta \sin\phi, v_0 \cos\theta)$v=(v0​sinθcosϕ,v0​sinθsinϕ,v0​cosθ) を持つ分子の、平板に対する相対速度 $\vec{v}_{\text{rel}}$vrel​ は、平板の速度 $\vec{V} = (0, 0, V)$V=(0,0,V) を引いて、

$$\vec{v}_{\text{rel}} = (v_0 \sin\theta \cos\phi, \ v_0 \sin\theta \sin\phi, \ v_0 \cos\theta - V)$$vrel​=(v0​sinθcosϕ, v0​sinθsinϕ, v0​cosθ−V)

となります。

分子が平板の「前面（$z$z軸正の方向を向いている面）」に衝突するための条件は、相対速度の $z$z 成分が負であること、すなわち平板に向かってくることです。

$$v_0 \cos\theta - V < 0 \iff \cos\theta < \frac{V}{v_0}$$v0​cosθ−V<0⟺cosθ<v0​V​

このとき、相対的な接近の速さは $|v_{\text{rel}, z}| = V - v_0 \cos\theta$∣vrel,z​∣=V−v0​cosθ です。

速度の方向が $(\theta, \theta+d\theta)$(θ,θ+dθ) および $(\phi, \phi+d\phi)$(ϕ,ϕ+dϕ) の範囲にある分子の数密度 $dn$dn は、等方性より全立体角 $4\pi$4π に対する割合として次のように表されます。

$$dn = n \frac{\sin\theta d\theta d\phi}{4\pi}$$dn=n4πsinθdθdϕ​

平板の面積 $S$S の部分に、微小時間 $\Delta t$Δt の間に衝突するこれらの分子が占める体積は $S \cdot |v_{\text{rel}, z}| \Delta t$S⋅∣vrel,z​∣Δt です。したがって、単位時間・単位面積あたりに前面に衝突する分子の数 $dN_f$dNf​ は、

$$dN_f = dn \cdot |v_{\text{rel}, z}| = \frac{n}{4\pi} \sin\theta d\theta d\phi (V - v_0 \cos\theta)$$dNf​=dn⋅∣vrel,z​∣=4πn​sinθdθdϕ(V−v0​cosθ)

となります。

弾性衝突により、相対速度の $z$z 成分は反転するため、1個の分子の運動量変化の大きさは $2m(V - v_0 \cos\theta)$2m(V−v0​cosθ) です。これは、平板が1個の分子から受ける力積に等しいです。 したがって、この微小な角度範囲の分子群が前面に及ぼす圧力（単位面積・単位時間あたりの力積）$dP_f$dPf​ は、

$$dP_f = 2m(V - v_0 \cos\theta) \cdot dN_f = 2m \frac{n}{4\pi} \sin\theta (V - v_0 \cos\theta)^2 d\theta d\phi$$dPf​=2m(V−v0​cosθ)⋅dNf​=2m4πn​sinθ(V−v0​cosθ)2dθdϕ

これを全ての衝突可能な角度について積分します。$\cos\theta_0 = V/v_0$cosθ0​=V/v0​ とすると、積分範囲は $\phi$ϕ については $0 \to 2\pi$0→2π、$\theta$θ については $\theta_0 \to \pi$θ0​→π です。

$$P_f = \int_0^{2\pi} d\phi \int_{\theta_0}^{\pi} d\theta \frac{n m}{2\pi} \sin\theta (V - v_0 \cos\theta)^2$$Pf​=∫02π​dϕ∫θ0​π​dθ2πnm​sinθ(V−v0​cosθ)2

$\phi$ϕ の積分を実行すると $2\pi$2π が掛かり、

$$P_f = n m \int_{\theta_0}^{\pi} \sin\theta (V - v_0 \cos\theta)^2 d\theta$$Pf​=nm∫θ0​π​sinθ(V−v0​cosθ)2dθ

ここで、$u = \cos\theta$u=cosθ と置換積分します。$du = -\sin\theta d\theta$du=−sinθdθ であり、積分範囲は $V/v_0 \to -1$V/v0​→−1 となります。

$$P_f = n m \int_{-1}^{V/v_0} (V - v_0 u)^2 du = n m \left[ \frac{-1}{3v_0} (V - v_0 u)^3 \right]_{-1}^{V/v_0}$$Pf​=nm∫−1V/v0​​(V−v0​u)2du=nm[3v0​−1​(V−v0​u)3]−1V/v0​​

上限を代入すると $(V - V)^3 = 0$(V−V)3=0 となり、下限を代入すると、

$$P_f = n m \left( 0 - \frac{-1}{3v_0} (V + v_0)^3 \right) = \frac{n m}{3v_0} (v_0 + V)^3$$Pf​=nm(0−3v0​−1​(V+v0​)3)=3v0​nm​(v0​+V)3

2. 後面が受ける圧力 $P_b$Pb​ の導出

同様に、後面（$z$z軸負の方向を向いている面）について考えます。 分子が後面に衝突してくる条件は、分子が平板に後ろから追いつくことなので、相対速度の $z$z 成分が正であることです。

$$v_0 \cos\theta - V > 0 \iff \cos\theta > \frac{V}{v_0}$$v0​cosθ−V>0⟺cosθ>v0​V​

接近の速さは $v_0 \cos\theta - V$v0​cosθ−V となり、1回の衝突による力積は $2m(v_0 \cos\theta - V)$2m(v0​cosθ−V) です。 積分範囲は $\theta$θ について $0 \to \theta_0$0→θ0​ となります。

$$P_b = n m \int_{0}^{\theta_0} \sin\theta (v_0 \cos\theta - V)^2 d\theta$$Pb​=nm∫0θ0​​sinθ(v0​cosθ−V)2dθ

先程と同様に $u = \cos\theta$u=cosθ と置くと、積分範囲は $1 \to V/v_0$1→V/v0​ となります。（マイナスを打ち消して範囲を反転させます）

$$P_b = n m \int_{V/v_0}^{1} (v_0 u - V)^2 du = n m \left[ \frac{1}{3v_0} (v_0 u - V)^3 \right]_{V/v_0}^{1} = \frac{n m}{3v_0} (v_0 - V)^3$$Pb​=nm∫V/v0​1​(v0​u−V)2du=nm[3v0​1​(v0​u−V)3]V/v0​1​=3v0​nm​(v0​−V)3

3. 正味の抵抗力 $F$F の計算

平板が受ける正味の抵抗力 $F$F は、前後の圧力差に断面積 $S$S を掛けたものです。

$$F = S(P_f - P_b) = S \frac{n m}{3v_0} \left[ (v_0 + V)^3 - (v_0 - V)^3 \right]$$F=S(Pf​−Pb​)=S3v0​nm​[(v0​+V)3−(v0​−V)3]

カッコ内を展開して整理します。

$$(v_0^3 + 3v_0^2 V + 3v_0 V^2 + V^3) - (v_0^3 - 3v_0^2 V + 3v_0 V^2 - V^3) = 6v_0^2 V + 2V^3$$(v03​+3v02​V+3v0​V2+V3)−(v03​−3v02​V+3v0​V2−V3)=6v02​V+2V3

したがって、

$$F = S \frac{n m}{3v_0} (6v_0^2 V + 2V^3) = 2 n m S v_0 V \left( 1 + \frac{1}{3}\left(\frac{V}{v_0}\right)^2 \right)$$F=S3v0​nm​(6v02​V+2V3)=2nmSv0​V(1+31​(v0​V​)2)

これが厳密な抵抗力の表式です。（なお、$V \ll v_0$V≪v0​ の極限では $F \approx 2 n m S v_0 V$F≈2nmSv0​V となり、速度 $V$V に比例する空気抵抗が得られます）

4. 数値の代入

与えられた制約の数値を代入します。

• $m = 5.0 \times 10^{-26} \text{ kg}$m=5.0×10−26 kg
• $n = 6.0 \times 10^{20} \text{ m}^{-3}$n=6.0×1020 m−3
• $\implies n m = 30 \times 10^{-6} = 3.0 \times 10^{-5} \text{ kg/m}^3$⟹nm=30×10−6=3.0×10−5 kg/m3
• $v_0 = 400 \text{ m/s}$v0​=400 m/s
• $V = 100 \text{ m/s}$V=100 m/s
• $S = 2.0 \text{ m}^2$S=2.0 m2

まずは前後の圧力 $P_f, P_b$Pf​,Pb​ を計算して差分をとる方法で計算してみましょう。

$$P_f = \frac{3.0 \times 10^{-5}}{3 \times 400} (400 + 100)^3 = \frac{10^{-5}}{400} \times (500)^3 = \frac{1}{4 \times 10^7} \times 1.25 \times 10^8 = \frac{12.5}{4} = 3.125 \text{ Pa}$$Pf​=3×4003.0×10−5​(400+100)3=40010−5​×(500)3=4×1071​×1.25×108=412.5​=3.125 Pa $$P_b = \frac{3.0 \times 10^{-5}}{3 \times 400} (400 - 100)^3 = \frac{10^{-5}}{400} \times (300)^3 = \frac{1}{4 \times 10^7} \times 2.7 \times 10^7 = \frac{2.7}{4} = 0.675 \text{ Pa}$$Pb​=3×4003.0×10−5​(400−100)3=40010−5​×(300)3=4×1071​×2.7×107=42.7​=0.675 Pa

圧力差 $\Delta P$ΔP は、

$$\Delta P = P_f - P_b = 3.125 - 0.675 = 2.45 \text{ Pa}$$ΔP=Pf​−Pb​=3.125−0.675=2.45 Pa

したがって、抵抗力 $F$F は、

$$F = S \times \Delta P = 2.0 \times 2.45 = 4.9 \text{ N}$$F=S×ΔP=2.0×2.45=4.9 N

求める解答は「$F$F の値を10倍した自然数」であるため、

$$4.9 \times 10 = 49$$4.9×10=49

となります。

最終解答: 49