GSO001 問題9

まず、加えられた力 $F$F によって小物体Bが板Aに対して滑るかどうか（条件分岐）を判定します。 AとBが相対的に静止したまま一体となって運動すると仮定した場合、全体の加速度を $a_0$a0​ とすると、運動方程式は以下のようになります。

$$(M + m)a_0 = F$$(M+m)a0​=F

このとき、小物体Bを前方に加速させている力は、AからBに働く静止摩擦力 $f$f のみです。Bについての運動方程式は以下の通りです。

$$m a_0 = f$$ma0​=f

BがAに対して滑らないためには、この静止摩擦力 $f$f が最大摩擦力 $\mu m g$μmg 以下である必要があります。

$$f \le \mu m g \implies m a_0 \le \mu m g \implies a_0 \le \mu g$$f≤μmg⟹ma0​≤μmg⟹a0​≤μg

したがって、AとBが一体となって動くための最大の力 $F_0$F0​ は次のように求められます。

$$F_0 = (M + m) \mu g$$F0​=(M+m)μg

与えられた数値を代入して $F_0$F0​ を計算します。

$$F_0 = (3.0 + 2.0) \times 0.50 \times 9.8 = 24.5 \ \text{N}$$F0​=(3.0+2.0)×0.50×9.8=24.5 N

今回Aに加えられた力は $F = 30 \ \text{N}$F=30 N であり、$F > F_0$F>F0​ となります。したがって、静止摩擦力の限界を超えており、小物体Bは板Aに対して滑りながら運動することがわかります。

次に、滑りながら運動している際のAとBそれぞれの加速度を求めます。 床に対するAの右向きの加速度を $a_A$aA​、Bの右向きの加速度を $a_B$aB​ とすると、それぞれの運動方程式は以下のようになります。

$$\begin{aligned} &A: \quad M a_A = F - \mu' m g \\ &B: \quad m a_B = \mu' m g \end{aligned}$$​A:MaA​=F−μ′mgB:maB​=μ′mg​

これらから加速度を計算します。

$$\begin{aligned} a_B &= \mu' g = 0.30 \times 9.8 = 2.94 \ \text{m/s}^2 \\ a_A &= \frac{F - \mu' m g}{M} = \frac{30 - 0.30 \times 2.0 \times 9.8}{3.0} = 8.04 \ \text{m/s}^2 \end{aligned}$$aB​aA​​=μ′g=0.30×9.8=2.94 m/s2=MF−μ′mg​=3.030−0.30×2.0×9.8​=8.04 m/s2​

板Aに対する小物体Bの相対加速度 $a_{\text{rel}}$arel​ は、$a_A - a_B$aA​−aB​ として求められます。

$$a_{\text{rel}} = 8.04 - 2.94 = 5.10 \ \text{m/s}^2$$arel​=8.04−2.94=5.10 m/s2

時刻 $t=t_1$t=t1​ までにBがAに対して相対的に滑った距離 $L$L は、等加速度直線運動の公式より以下のようになります。

$$L = \frac{1}{2} a_{\text{rel}} t_1^2 = \frac{1}{2} \times 5.10 \times (10)^2 = 255 \ \text{m}$$L=21​arel​t12​=21​×5.10×(10)2=255 m

したがって、求める自然数は $255$255 となります。

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【別解：慣性力を用いて一瞬で解く方法】

板Aに乗った観測者（非慣性系）の視点で、小物体Bの相対運動の運動方程式を直接立てます。 観測者（板A）の地面に対する加速度は $a_A = \frac{F - \mu' m g}{M}$aA​=MF−μ′mg​ です。 この観測者から見ると、質量 $m$m の小物体Bには、左向きに慣性力 $m a_A$maA​ が働き、右向きに動摩擦力 $\mu' m g$μ′mg が働きます。 左向きを正とし、Bの相対加速度を $\alpha$α とすると、運動方程式は以下の通りです。

$$m \alpha = m a_A - \mu' m g$$mα=maA​−μ′mg

$a_A$aA​ を代入して整理すると、相対加速度 $\alpha$α の文字式が一発で求まります。

$$\begin{aligned} m \alpha &= m \left( \frac{F - \mu' m g}{M} \right) - \mu' m g \\ \alpha &= \frac{F - \mu'(M + m)g}{M} \end{aligned}$$mαα​=m(MF−μ′mg​)−μ′mg=MF−μ′(M+m)g​​

数値を代入します。

$$\alpha = \frac{30 - 0.30 \times (3.0 + 2.0) \times 9.8}{3.0} = \frac{30 - 14.7}{3.0} = 5.10 \ \text{m/s}^2$$α=3.030−0.30×(3.0+2.0)×9.8​=3.030−14.7​=5.10 m/s2

あとは同様に $L = \frac{1}{2} \alpha t_1^2 = 255 \ \text{m}$L=21​αt12​=255 m と求まります。