GSO001 問題5

この問題は、反発係数の定義と自由落下・投げ上げ運動のエネルギー保存則、あるいは運動方程式の解を組み合わせて解く標準的な問題です。

1. 1回目の衝突直前の速度

高さ $H$H から自由落下した直後の速度の大きさ $v_1$v1​ は、力学的エネルギー保存則より以下のようになります。

$$m g H = \frac{1}{2} m v_1^2 \implies v_1 = \sqrt{2gH}$$mgH=21​mv12​⟹v1​=2gH​

2. 1回目の衝突直後とはねあがりの高さ

反発係数 $e$e の定義より、床面に衝突した直後の速度 $v'_1$v1′​ は、鉛直上向きを正とすると次のようになります。

$$v'_1 = e v_1 = e \sqrt{2gH}$$v1′​=ev1​=e2gH​

この速度で投げ上げられた小球が到達する最高点の高さ $h_1$h1​ は、再びエネルギー保存則を用いると：

$$\frac{1}{2} m (v'_1)^2 = m g h_1 \implies h_1 = \frac{(e v_1)^2}{2g} = \frac{e^2 \cdot 2gH}{2g} = e^2 H$$21​m(v1′​)2=mgh1​⟹h1​=2g(ev1​)2​=2ge2⋅2gH​=e2H

3. 2回目の衝突直後とはねあがりの高さ

同様に、高さ $h_1$h1​ から落下して 2 回目の衝突直前の速度を $v_2$v2​、直後の速度を $v'_2$v2′​ とすると：

$$v_2 = \sqrt{2g h_1} = \sqrt{2g e^2 H} = e \sqrt{2gH}$$v2​=2gh1​​=2ge2H​=e2gH​ $$v'_2 = e v_2 = e^2 \sqrt{2gH}$$v2′​=ev2​=e22gH​

この衝突直後の速度 $v'_2$v2′​ を用いて到達する最高点の高さ $h_2$h2​ は次のようになります。

$$h_2 = \frac{(v'_2)^2}{2g} = \frac{(e^2 \sqrt{2gH})^2}{2g} = \frac{e^4 \cdot 2gH}{2g} = e^4 H$$h2​=2g(v2′​)2​=2g(e22gH​)2​=2ge4⋅2gH​=e4H

4. 数値計算

与えられた数値を代入します。

$$h_2 = (0.5)^4 \times 100 = 0.0625 \times 100 = 6.25 \text{ m}$$h2​=(0.5)4×100=0.0625×100=6.25 m

回答すべき値はこれを 100 倍したものです。

$$6.25 \times 100 = 625$$6.25×100=625

答え： 625