GSO001 問題19

この問題は、解析力学のラグランジアンを用いた定式化と、有効ポテンシャルのテイラー展開による微小振動の解析を通じて解くことができます。

質点のデカルト座標 $(x, y, z)$(x,y,z) は、中心角 $\theta$θ および時間 $t$t を用いて次のように表されます。

$$\begin{aligned} x &= R \sin\theta \cos(\omega t) \\ y &= R \sin\theta \sin(\omega t) \\ z &= -R \cos\theta \end{aligned}$$xyz​=Rsinθcos(ωt)=Rsinθsin(ωt)=−Rcosθ​

これらを時間 $t$t で微分して速度成分を求め、速度の2乗 $v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2$v2=x˙2+y˙​2+z˙2 を計算すると、

$$v^2 = R^2 \dot{\theta}^2 + R^2 \omega^2 \sin^2\theta$$v2=R2θ˙2+R2ω2sin2θ

となります。したがって、系の運動エネルギー $T$T とポテンシャルエネルギー $U$U（最下点 $z=-R$z=−R 基準ではなく原点基準とする）は以下のようになります。

$$\begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m R^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m R^2 \omega^2 \sin^2\theta \\ U &= m g z = -m g R \cos\theta \end{aligned}$$TU​=21​mv2=21​mR2θ˙2+21​mR2ω2sin2θ=mgz=−mgRcosθ​

系のラグランジアン $L = T - U$L=T−U は次のように書けます。

$$L = \frac{1}{2} m R^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m R^2 \omega^2 \sin^2\theta + m g R \cos\theta$$L=21​mR2θ˙2+21​mR2ω2sin2θ+mgRcosθ

オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$dtd​(∂θ˙∂L​)−∂θ∂L​=0 を立てます。

$$m R^2 \ddot{\theta} - \left( m R^2 \omega^2 \sin\theta \cos\theta - m g R \sin\theta \right) = 0$$mR2θ¨−(mR2ω2sinθcosθ−mgRsinθ)=0 $$\ddot{\theta} = \sin\theta \left( \omega^2 \cos\theta - \frac{g}{R} \right)$$θ¨=sinθ(ω2cosθ−Rg​)

釣り合いの位置 $\theta_0$θ0​ では $\ddot{\theta} = 0$θ¨=0 となるため、$\sin\theta_0 = 0$sinθ0​=0 または $\cos\theta_0 = \frac{g}{R\omega^2}$cosθ0​=Rω2g​ です。 $\omega > \sqrt{g/R}$ω>g/R​ の条件より $\frac{g}{R\omega^2} < 1$Rω2g​<1 であり、$0 < \theta_0 < \pi/2$0<θ0​<π/2 における安定な釣り合いの位置は

$$\cos\theta_0 = \frac{g}{R\omega^2}$$cosθ0​=Rω2g​

で与えられます。 次に、$\theta = \theta_0 + \phi$θ=θ0​+ϕ（$\phi$ϕ は微小量）として運動方程式を線形化します。運動方程式を $\ddot{\theta} = -V_{\text{eff}}'(\theta) / (mR^2)$θ¨=−Veff′​(θ)/(mR2) と見なすと、微小振動の角振動数 $\Omega$Ω は次式で求まります。

$$\Omega^2 = \frac{V_{\text{eff}}''(\theta_0)}{mR^2}$$Ω2=mR2Veff′′​(θ0​)​

ここで、ラグランジアンの $\theta$θ に依存する部分の符号を反転させたものが有効ポテンシャル $V_{\text{eff}}(\theta)$Veff​(θ) に相当します。

$$V_{\text{eff}}(\theta) = - \frac{1}{2} m R^2 \omega^2 \sin^2\theta - m g R \cos\theta$$Veff​(θ)=−21​mR2ω2sin2θ−mgRcosθ

微分を計算します。

$$V_{\text{eff}}'(\theta) = - m R^2 \omega^2 \sin\theta \cos\theta + m g R \sin\theta$$Veff′​(θ)=−mR2ω2sinθcosθ+mgRsinθ $$V_{\text{eff}}''(\theta) = - m R^2 \omega^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta) + m g R \cos\theta$$Veff′′​(θ)=−mR2ω2(cos2θ−sin2θ)+mgRcosθ

$\theta = \theta_0$θ=θ0​ を代入し、$m g R = m R^2 \omega^2 \cos\theta_0$mgR=mR2ω2cosθ0​ の関係を用います。

$$\begin{aligned} V_{\text{eff}}''(\theta_0) &= - m R^2 \omega^2 (\cos^2\theta_0 - \sin^2\theta_0) + (m R^2 \omega^2 \cos\theta_0) \cos\theta_0 \\ &= m R^2 \omega^2 \sin^2\theta_0 \end{aligned}$$Veff′′​(θ0​)​=−mR2ω2(cos2θ0​−sin2θ0​)+(mR2ω2cosθ0​)cosθ0​=mR2ω2sin2θ0​​

したがって、

$$\Omega^2 = \omega^2 \sin^2\theta_0 = \omega^2 (1 - \cos^2\theta_0) = \omega^2 - \frac{g^2}{R^2 \omega^2}$$Ω2=ω2sin2θ0​=ω2(1−cos2θ0​)=ω2−R2ω2g2​

となります。制約の数値を代入します。

• $R \omega^2 = 0.50 \times 7.00^2 = 0.50 \times 49 = 24.5 \text{ m/s}^2$Rω2=0.50×7.002=0.50×49=24.5 m/s2
• $\cos\theta_0 = \frac{g}{R \omega^2} = \frac{9.80}{24.5} = 0.4$cosθ0​=Rω2g​=24.59.80​=0.4
• $\Omega^2 = 49 \times (1 - 0.4^2) = 49 \times (1 - 0.16) = 49 \times 0.84 = 41.16 \text{ rad}^2/\text{s}^2$Ω2=49×(1−0.42)=49×(1−0.16)=49×0.84=41.16 rad2/s2

求める値は $\Omega^2$Ω2 を $100$100 倍した自然数であるため、最終的な解答は $4116$4116 となります。

解答: 4116