GSO001 問題18

マクスウェル方程式の微分形であるガウスの法則より、電場の発散（Divergence）と電荷密度 $\rho$ρ の間には以下の関係があります。

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$∇⋅E=ε0​ρ​

まず、与えられた電場 $\vec{E}$E の発散を計算します。

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$$∇⋅E=∂x∂Ex​​+∂y∂Ey​​+∂z∂Ez​​

偏微分を実行すると、以下のようになります。

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial}{\partial x}(k x y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(k x^2 y) + \frac{\partial}{\partial z}(\gamma z^3)$$∇⋅E=∂x∂​(kxy2)+∂y∂​(kx2y)+∂z∂​(γz3) $$\nabla \cdot \vec{E} = k y^2 + k x^2 + 3\gamma z^2 = k(x^2 + y^2) + 3\gamma z^2$$∇⋅E=ky2+kx2+3γz2=k(x2+y2)+3γz2

領域 $V$V 内の全電荷 $Q$Q は、電荷密度 $\rho$ρ の体積積分によって求められます。

$$Q = \iiint_V \rho \,dV = \varepsilon_0 \iiint_V (\nabla \cdot \vec{E}) \,dV$$Q=∭V​ρdV=ε0​∭V​(∇⋅E)dV

領域 $V$V は円柱であるため、直交座標系から円柱座標系 $(r, \theta, z)$(r,θ,z) への変数変換を行います。 $x^2 + y^2 = r^2$x2+y2=r2 であり、微小体積要素はヤコビアンを考慮して $dV = r \,dr \,d\theta \,dz$dV=rdrdθdz となります。 積分の範囲は $0 \le r \le R$0≤r≤R、$0 \le \theta \le 2\pi$0≤θ≤2π、$0 \le z \le H$0≤z≤H です。

$$Q = \varepsilon_0 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R dr \int_0^H dz \left( (k r^2 + 3\gamma z^2) r \right)$$Q=ε0​∫02π​dθ∫0R​dr∫0H​dz((kr2+3γz2)r)

被積分関数は $\theta$θ に依存しないため、$\theta$θ についての積分は単に $2\pi$2π となります。

$$Q = 2\pi \varepsilon_0 \int_0^R \left( \int_0^H (k r^3 + 3\gamma r z^2) \,dz \right) \,dr$$Q=2πε0​∫0R​(∫0H​(kr3+3γrz2)dz)dr

括弧内の $z$z についての定積分を実行します。

$$\int_0^H (k r^3 + 3\gamma r z^2) \,dz = \left[ k r^3 z + \gamma r z^3 \right]_0^H = k H r^3 + \gamma H^3 r$$∫0H​(kr3+3γrz2)dz=[kr3z+γrz3]0H​=kHr3+γH3r

次に、これを $r$r について $0$0 から $R$R まで定積分します。

$$Q = 2\pi \varepsilon_0 \int_0^R (k H r^3 + \gamma H^3 r) \,dr = 2\pi \varepsilon_0 \left[ k H \frac{r^4}{4} + \gamma H^3 \frac{r^2}{2} \right]_0^R$$Q=2πε0​∫0R​(kHr3+γH3r)dr=2πε0​[kH4r4​+γH32r2​]0R​ $$Q = 2\pi \varepsilon_0 \left( \frac{1}{4} k H R^4 + \frac{1}{2} \gamma H^3 R^2 \right)$$Q=2πε0​(41​kHR4+21​γH3R2)

ここで、制約として与えられた具体的な数値を代入します。 $k = 2$k=2, $\gamma = 1$γ=1, $R = 3$R=3, $H = 4$H=4

• 括弧内の第一項: $\frac{1}{4} \times 2 \times 4 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$41​×2×4×34=2×81=162
• 括弧内の第二項: $\frac{1}{2} \times 1 \times 4^3 \times 3^2 = \frac{1}{2} \times 64 \times 9 = 288$21​×1×43×32=21​×64×9=288

括弧内の和は $162 + 288 = 450$162+288=450 となります。これを $Q$Q の式に戻します。

$$Q = 2\pi \varepsilon_0 \times 450 = 900\pi \varepsilon_0$$Q=2πε0​×450=900πε0​

最後に、真空の誘電率 $\varepsilon_0 = \frac{1}{36\pi \times 10^9}\text{ F/m}$ε0​=36π×1091​ F/m を代入し、具体的な電荷量を求めます。

$$Q = 900\pi \times \frac{1}{36\pi \times 10^9} = \frac{900}{36} \times 10^{-9} = 25 \times 10^{-9}\text{ C}$$Q=900π×36π×1091​=36900​×10−9=25×10−9 C

$1\text{ nC} = 10^{-9}\text{ C}$1 nC=10−9 C であるため、全電荷は $25\text{ nC}$25 nC となります。 したがって、求める自然数は $25$25 です。