GSO001 問題17

定常状態のシュレーディンガー方程式は以下のように記述されます。

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$$−2mℏ2​dx2d2ψ(x)​+V(x)ψ(x)=Eψ(x)

領域 $x < 0$x<0 （領域 I）におけるポテンシャルは $V(x) = 0$V(x)=0 であるため、方程式は

$$\frac{d^2\psi_1(x)}{dx^2} + k_1^2 \psi_1(x) = 0, \quad k_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$dx2d2ψ1​(x)​+k12​ψ1​(x)=0,k1​=ℏ2mE​​

となります。この一般解は、入射波と反射波の重ね合わせとして次のように表されます。

$$\psi_1(x) = A e^{ik_1 x} + B e^{-ik_1 x}$$ψ1​(x)=Aeik1​x+Be−ik1​x

領域 $x \ge 0$x≥0 （領域 II）におけるポテンシャルは $V(x) = V_0$V(x)=V0​ であるため、方程式は

$$\frac{d^2\psi_2(x)}{dx^2} + k_2^2 \psi_2(x) = 0, \quad k_2 = \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}$$dx2d2ψ2​(x)​+k22​ψ2​(x)=0,k2​=ℏ2m(E−V0​)​​

となります。この領域には透過波のみが存在するため、一般解は次のように表されます。

$$\psi_2(x) = C e^{ik_2 x}$$ψ2​(x)=Ceik2​x

$x = 0$x=0 における波動関数の連続性と、その1階微分の連続性の境界条件を適用します。

1. $\psi_1(0) = \psi_2(0)$ψ1​(0)=ψ2​(0) より、 $A + B = C$A+B=C
2. $\psi_1'(0) = \psi_2'(0)$ψ1′​(0)=ψ2′​(0) より、 $ik_1(A - B) = ik_2 C \implies k_1(A - B) = k_2(C)$ik1​(A−B)=ik2​C⟹k1​(A−B)=k2​(C)

これら2つの式から $C$C を消去し、振幅の比 $B/A$B/A を求めます。

$$k_1(A - B) = k_2(A + B)$$k1​(A−B)=k2​(A+B) $$A(k_1 - k_2) = B(k_1 + k_2) \implies \frac{B}{A} = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}$$A(k1​−k2​)=B(k1​+k2​)⟹AB​=k1​+k2​k1​−k2​​

反射係数 $R$R は、入射確率流れの密度に対する反射確率流れの密度の比として定義されます。

$$R = \left| \frac{B}{A} \right|^2 = \left( \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} \right)^2$$R=​AB​​2=(k1​+k2​k1​−k2​​)2

ここで、$k_1$k1​ と $k_2$k2​ の定義式を代入すると、質量 $m$m や $\hbar$ℏ は相殺され、エネルギーのみの式になります。

$$R = \left( \frac{\sqrt{E} - \sqrt{E-V_0}}{\sqrt{E} + \sqrt{E-V_0}} \right)^2$$R=(E​+E−V0​​E​−E−V0​​​)2

与えられた制約数値を代入します。

• $E = 289\text{ eV}$E=289 eV より、 $\sqrt{E} = 17$E​=17
• $E - V_0 = 289 - 225 = 64\text{ eV}$E−V0​=289−225=64 eV より、 $\sqrt{E-V_0} = 8$E−V0​​=8

これを反射係数 $R$R の式に代入します。

$$R = \left( \frac{17 - 8}{17 + 8} \right)^2 = \left( \frac{9}{25} \right)^2 = \frac{81}{625}$$R=(17+817−8​)2=(259​)2=62581​

これは既約分数であるため、$A = 81$A=81、$B = 625$B=625 となります。 よって求めるべき値は $A + B = 81 + 625 = 706$A+B=81+625=706 です。