GSO001 問題12

本問は、「ボーアの原子模型におけるエネルギー準位」「光電効果」「磁場中の荷電粒子の運動」という、原子物理と電磁気学の3つの重要テーマを融合した典型的な難関大レベルの問題である。ステップごとに順を追って数値を導出する。

1. 放出される光子のエネルギーの算出

ボーアの原子模型において、主量子数 $n=4$n=4 から $n=2$n=2 への遷移（バルマー系列）に伴って放出される光子のエネルギー $\Delta E$ΔE は、エネルギー準位の差から次のように求まる。

$$\Delta E = E_4 - E_2 = \left( - \frac{E_0}{4^2} \right) - \left( - \frac{E_0}{2^2} \right) = E_0 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{3}{16} E_0$$ΔE=E4​−E2​=(−42E0​​)−(−22E0​​)=E0​(41​−161​)=163​E0​

制約の $E_0 = 2.16 \times 10^{-18} \text{ J}$E0​=2.16×10−18 J を代入して計算する。

$$\Delta E = \frac{3}{16} \times 2.16 \times 10^{-18} = 3 \times 0.135 \times 10^{-18} = 0.405 \times 10^{-18} \text{ J} = 4.05 \times 10^{-19} \text{ J}$$ΔE=163​×2.16×10−18=3×0.135×10−18=0.405×10−18 J=4.05×10−19 J

2. 光電子の最大運動エネルギーの算出

アインシュタインの光電方程式より、金属表面から飛び出す光電子の最大運動エネルギー $K_{\max}$Kmax​ は、入射光子のエネルギーから金属の仕事関数 $W$W を引いた値となる。

$$K_{\max} = \Delta E - W = 4.05 \times 10^{-19} - 2.05 \times 10^{-19} = 2.00 \times 10^{-19} \text{ J}$$Kmax​=ΔE−W=4.05×10−19−2.05×10−19=2.00×10−19 J

3. 等速円運動の半径の算出

質量 $m$m の電子が最大運動エネルギー $K_{\max}$Kmax​ を持って運動しているとき、その速さ $v$v は $K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2$Kmax​=21​mv2 より、

$$v = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} \quad \cdots (5)$$v=m2Kmax​​​⋯(5)

となる。この電子が磁束密度 $B$B の磁場に垂直に進入すると、ローレンツ力 $evB$evB を向心力として半径 $r$r の等速円運動を行う。運動方程式は、

$$m \frac{v^2}{r} = e v B \quad \Rightarrow \quad r = \frac{m v}{e B} \quad \cdots (6)$$mrv2​=evB⇒r=eBmv​⋯(6)

(6)式に(5)式を代入し、速さ $v$v を消去する。

$$r = \frac{m}{e B} \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} = \frac{\sqrt{2 m K_{\max}}}{e B}$$r=eBm​m2Kmax​​​=eB2mKmax​​​

制約の数値を代入して、計算を進める。まず分子の根号の中身を計算する。

$$2 m K_{\max} = 2 \times (9.00 \times 10^{-31}) \times (2.00 \times 10^{-19}) = 36.0 \times 10^{-50} \text{ kg}^2 \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$$2mKmax​=2×(9.00×10−31)×(2.00×10−19)=36.0×10−50 kg2⋅m2/s2

したがって、分子は次のように綺麗に根号が外れる。

$$\sqrt{2 m K_{\max}} = \sqrt{36.0 \times 10^{-50}} = 6.00 \times 10^{-25} \text{ kg} \cdot \text{m/s}$$2mKmax​​=36.0×10−50​=6.00×10−25 kg⋅m/s

次に分母 $eB$eB を計算する。

$$e B = (1.60 \times 10^{-19}) \times (1.40 \times 10^{-4}) = 2.24 \times 10^{-23} \text{ C}\cdot\text{T}$$eB=(1.60×10−19)×(1.40×10−4)=2.24×10−23 C⋅T

これらを用いて半径 $r$r を求める。

$$r = \frac{6.00 \times 10^{-25}}{2.24 \times 10^{-23}} = \frac{6.00}{2.24} \times 10^{-2} \text{ m}$$r=2.24×10−236.00×10−25​=2.246.00​×10−2 m

係数部分の分数を約分して既約分数にする。

$$\frac{6.00}{2.24} = \frac{600}{224} = \frac{300}{112} = \frac{150}{56} = \frac{75}{28}$$2.246.00​=224600​=112300​=56150​=2875​

よって、$r = \frac{75}{28} \times 10^{-2} \text{ m}$r=2875​×10−2 m となる。 入力形式より $A = \frac{75}{28}$A=2875​ であり、既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と比較すると $p = 75, q = 28$p=75,q=28 である。 求める値は $p + q = 75 + 28 = 103$p+q=75+28=103 である。