GSO001 問題11

任意の時刻 $t$t における導体棒の速さを $v$v、回路に流れる電流を $I$I、コンデンサーに蓄えられている電荷を $q$q とする。 導体棒が磁場中を速さ $v$v で動くとき、ファラデーの電磁誘導の法則より、導体棒には大きさ $V = vBL$V=vBL の誘導起電力が生じる。レンツの法則により、これはコンデンサーを充電する向き（反時計回り）の起電力となる。 このとき、閉回路におけるキルヒホッフの第2法則（電圧則）より、以下の回路方程式が成り立つ。

$$vBL - RI - \frac{q}{C} = 0 \quad \cdots (1)$$vBL−RI−Cq​=0⋯(1)

電流 $I$I はコンデンサーに流入する電荷の時間変化率であるため、$I = \frac{dq}{dt}$I=dtdq​ と表される。 一方、導体棒には電流 $I$I が流れているため、磁場からフレミングの左手の法則に従ってアンペール力（ローレンツ力のマクロな合力）を受ける。その大きさは $IBL$IBL であり、向きは進行方向と逆向き（$x$x 軸負の向き）である。 したがって、導体棒の運動方程式は以下のようになる。

$$m \frac{dv}{dt} = - IBL \quad \cdots (2)$$mdtdv​=−IBL⋯(2)

これらの方程式を連立して解いていく。(2)式の両辺を微小時間 $dt$dt で積分することを考える。$I dt = dq$Idt=dq であるため、速度変化 $dv$dv と電荷変化 $dq$dq の関係（運動量と力積の関係）として次式を得る。

$$m dv = - B L I dt = - B L dq$$mdv=−BLIdt=−BLdq

これを時刻 $t=0$t=0 から十分に時間が経過した最終状態（$t \to \infty$t→∞）まで積分する。初期状態では $v = v_0, q = 0$v=v0​,q=0 であり、最終状態では速さが一定の $v_f$vf​ となり、電流は流れなくなる（$I = 0$I=0）。このときのコンデンサーの最終的な電荷を $q_f$qf​ とする。

$$\int_{v_0}^{v_f} m dv = - B L \int_{0}^{q_f} dq$$∫v0​vf​​mdv=−BL∫0qf​​dq $$m(v_f - v_0) = - B L q_f \quad \cdots (3)$$m(vf​−v0​)=−BLqf​⋯(3)

また、最終状態においては $I=0$I=0 であり、速さ $v_f$vf​ は一定であるため、(1)式の回路方程式は次のようになる。

$$v_f B L - R \cdot 0 - \frac{q_f}{C} = 0 \quad \Rightarrow \quad q_f = C B L v_f \quad \cdots (4)$$vf​BL−R⋅0−Cqf​​=0⇒qf​=CBLvf​⋯(4)

(4)式を(3)式に代入し、$v_f$vf​ について解く。

$$m(v_f - v_0) = - B L (C B L v_f) = - C B^2 L^2 v_f$$m(vf​−v0​)=−BL(CBLvf​)=−CB2L2vf​ $$(m + C B^2 L^2) v_f = m v_0$$(m+CB2L2)vf​=mv0​ $$v_f = \frac{m}{m + C B^2 L^2} v_0$$vf​=m+CB2L2m​v0​

ここで制約の数値を代入する。まず、分母の項である $C B^2 L^2$CB2L2 を計算する。

$$C B^2 L^2 = (2.0 \times 10^{-3}) \times (2.0)^2 \times (0.50)^2 = 2.0 \times 10^{-3} \times 4.0 \times 0.25 = 2.0 \times 10^{-3} \text{ kg}$$CB2L2=(2.0×10−3)×(2.0)2×(0.50)2=2.0×10−3×4.0×0.25=2.0×10−3 kg

これを $v_f$vf​ の式に代入し、質量 $m = 1.2 \times 10^{-2} \text{ kg} = 12 \times 10^{-3} \text{ kg}$m=1.2×10−2 kg=12×10−3 kg を用いて計算する。

$$v_f = \frac{12 \times 10^{-3}}{12 \times 10^{-3} + 2.0 \times 10^{-3}} \times 10 = \frac{12 \times 10^{-3}}{14 \times 10^{-3}} \times 10 = \frac{12}{14} \times 10 = \frac{60}{7} \text{ m/s}$$vf​=12×10−3+2.0×10−312×10−3​×10=14×10−312×10−3​×10=1412​×10=760​ m/s

これ以上約分できないため、$p = 60, q = 7$p=60,q=7 の既約分数である。 求める値は $p + q = 60 + 7 = 67$p+q=60+7=67 となる。（なお、電気抵抗 $R$R の値は最終的な速さには影響を与えず、途中で生じるジュール熱の発生ペースと最終状態に到達するまでの時間を決定するパラメータに過ぎないことが数式から読み取れる。）