GSO001 問題10

まず、[操作1] 終了時の状態を考えます。十分な時間が経過するとコンデンサー $C_1$C1​ は充電され、その電位差は電源の起電力 $V$V と等しくなります。 $C_1$C1​ に蓄えられている電荷 $Q_1$Q1​ と静電エネルギー $U_1$U1​ は以下の通りです。

$$\begin{aligned} Q_1 &= C_1 V \\ U_1 &= \frac{1}{2} C_1 V^2 \end{aligned}$$Q1​U1​​=C1​V=21​C1​V2​

次に、[操作2] を行います。スイッチ $S_1$S1​ を開き $S_2$S2​ を閉じると、$C_1$C1​ に蓄えられていた電荷が移動し、$C_1$C1​ と $C_2$C2​ の極板間の電位差が等しくなるまで電流が流れます。十分な時間が経過した後の両コンデンサーの電位差を $V'$V′ とします。 電荷保存則より、以下の関係が成り立ちます。

$$C_1 V' + C_2 V' = Q_1 = C_1 V \implies V' = \frac{C_1}{C_1 + C_2} V$$C1​V′+C2​V′=Q1​=C1​V⟹V′=C1​+C2​C1​​V

操作2終了時における、回路全体の静電エネルギーの和 $U_2$U2​ は以下の通りです。

$$U_2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V'^2 = \frac{1}{2} \frac{C_1^2}{C_1 + C_2} V^2$$U2​=21​(C1​+C2​)V′2=21​C1​+C2​C12​​V2

発生したジュール熱 $J$J は、エネルギー保存則より静電エネルギーの減少量に等しくなります。

$$J = U_1 - U_2 = \frac{1}{2} C_1 V^2 - \frac{1}{2} \frac{C_1^2}{C_1 + C_2} V^2 = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} V^2$$J=U1​−U2​=21​C1​V2−21​C1​+C2​C12​​V2=21​C1​+C2​C1​C2​​V2

与えられた制約の数値を代入して計算します。

$$\begin{aligned} J &= \frac{1}{2} \times \frac{(4.0 \times 10^{-6}) \times (6.0 \times 10^{-6})}{(4.0 \times 10^{-6}) + (6.0 \times 10^{-6})} \times (120)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{24.0 \times 10^{-12}}{10.0 \times 10^{-6}} \times 14400 \\ &= 1.2 \times 10^{-6} \times 14400 \\ &= 17280 \times 10^{-6} \ \text{J} \end{aligned}$$J​=21​×(4.0×10−6)+(6.0×10−6)(4.0×10−6)×(6.0×10−6)​×(120)2=21​×10.0×10−624.0×10−12​×14400=1.2×10−6×14400=17280×10−6 J​

解答は $\mu\text{J}$μJ（マイクロジュール）単位であるため、単位を変換します（$1 \ \mu\text{J} = 10^{-6} \ \text{J}$1 μJ=10−6 J）。

$$J = 17280 \ \mu\text{J}$$J=17280 μJ

したがって、求める自然数は $17280$17280 となります。

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【別解：換算質量のアナロジーを用いて一瞬で解く方法】

コンデンサーの接続によって失われる静電エネルギー（ジュール熱）は、力学における「2物体の完全非弾性衝突（合体）」で失われる力学的エネルギーと全く同じ数学的構造を持ちます。

力学において、質量 $m$m は電気容量 $C$C に、速度 $v$v は電位 $V$V に対応し、合体して同じ速度になることは、接続されて同じ電位になることに対応します。 完全非弾性衝突で失われるエネルギーが「相対運動エネルギー $\frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2$21​μvrel2​ （$\mu$μ は換算質量 $\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$m1​+m2​m1​m2​​）」であるのと同様に、回路で失われるエネルギーも「相対静電エネルギー $\frac{1}{2}C_{\text{series}}(\Delta V)^2$21​Cseries​(ΔV)2」として一瞬で立式できます。

ここで、$C_{\text{series}}$Cseries​ は直列合成容量 $\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$C1​+C2​C1​C2​​、$\Delta V$ΔV は接続前の相対的な電位差です。 本問の場合、接続直前の電位差は $C_1$C1​ が $120 \ \text{V}$120 V、$C_2$C2​ が $0 \ \text{V}$0 V です。これらを直接代入します。

$$J = \frac{1}{2} \times \frac{(4.0 \times 10^{-6}) \times (6.0 \times 10^{-6})}{(4.0 + 6.0) \times 10^{-6}} \times (120 - 0)^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 14400 = 17280 \ \mu\text{J}$$J=21​×(4.0+6.0)×10−6(4.0×10−6)×(6.0×10−6)​×(120−0)2=1.2×10−6×14400=17280 μJ