GSO000 問題3

入試の頻出パターンである磁場中を動く導体棒の運動ですが、電気抵抗が無視できるため、力積と運動量の関係から複数の保存則を連立して解く必要があります。

時刻 $t$t における金属棒の速度を $v(t)$v(t) とします。このとき、金属棒に生じる誘導起電力 $V(t)$V(t) は以下のようになります。

$$V(t) = v(t)BL$$V(t)=v(t)BL

電気抵抗がゼロであるため、この起電力はコンデンサーの極板間の電位差に等しくなります。したがって、コンデンサーに蓄えられる電荷 $Q(t)$Q(t) は、

$$Q(t) = CV(t) = C v(t) BL$$Q(t)=CV(t)=Cv(t)BL

となります。回路を流れる電流 $I(t)$I(t) は電荷の時間変化率 $\frac{dQ}{dt}$dtdQ​ であるため、

$$I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = CBL \frac{dv(t)}{dt}$$I(t)=dtdQ(t)​=CBLdtdv(t)​

この電流が磁場から受けるアンペール力 $F(t)$F(t) は進行方向と逆向き（左向き）に働き、その大きさは $I(t)BL$I(t)BL です。

$$F(t) = -I(t)BL = -CB^2L^2 \frac{dv(t)}{dt}$$F(t)=−I(t)BL=−CB2L2dtdv(t)​

金属棒の運動方程式 $m \frac{dv(t)}{dt} = F(t)$mdtdv(t)​=F(t) より、

$$m \frac{dv(t)}{dt} = -CB^2L^2 \frac{dv(t)}{dt} \implies (m + CB^2L^2)\frac{dv(t)}{dt} = 0$$mdtdv(t)​=−CB2L2dtdv(t)​⟹(m+CB2L2)dtdv(t)​=0

これは、時間に対して $(m + CB^2L^2)v(t)$(m+CB2L2)v(t) が一定であることを意味します（一種の保存則）。 初期状態（$t=0$t=0）では $v(0) = v_0$v(0)=v0​、最終状態（$t \to \infty$t→∞）では $v(\infty) = v_f$v(∞)=vf​ であるため、 上記の方程式を時間積分することで、与えられた力積と運動量の変化を正しく評価できます。

$$\int_0^\infty m \frac{dv}{dt} dt = \int_0^\infty (-BL I(t)) dt$$∫0∞​mdtdv​dt=∫0∞​(−BLI(t))dt $$m v_f - m v_0 = -BL \int_0^\infty I(t) dt = -BL Q_f$$mvf​−mv0​=−BL∫0∞​I(t)dt=−BLQf​

ここで、最終的な電荷 $Q_f = C v_f BL$Qf​=Cvf​BL です。これを代入すると、

$$m(v_f - v_0) = -CB^2L^2 v_f$$m(vf​−v0​)=−CB2L2vf​ $$(m + CB^2L^2)v_f = m v_0 \implies v_f = \frac{m}{m + CB^2L^2} v_0$$(m+CB2L2)vf​=mv0​⟹vf​=m+CB2L2m​v0​

数値を代入します。 $CB^2L^2 = 0.50 \times (0.20)^2 \times (1.0)^2 = 0.50 \times 0.040 = 0.020\text{ kg}$CB2L2=0.50×(0.20)2×(1.0)2=0.50×0.040=0.020 kg

$$v_f = \frac{0.020}{0.020 + 0.020} \times 12 = \frac{1}{2} \times 12 = 6.0\text{ m/s}$$vf​=0.020+0.0200.020​×12=21​×12=6.0 m/s

解答: 6