GPO001 問題4

問題文

初冬の澄み切った夜空に、ひときわ赤く不気味な輝きを放つ超巨星「赫耀（かくよう）」。その星は今、寿命の終わりに近づき、明滅を繰り返しながら宇宙の彼方で静かに佇んでいた。

山頂に建つ国立天文台の薄暗い観測室で、大学院生の青年・数馬（かずま）は、大型望遠鏡に接続された高解像度分光器のモニターを凝視していた。彼の研究テーマは、星の周囲を包む希薄な水素ガス星雲が放つ、あるいは吸収する特異な光のスペクトル分析であった。

「……星から放たれた連続光が、周囲の冷たい水素ガスを通過するとき、特定の波長の光だけが原子に吸収される。その結果、七色の虹のようなスペクトルの中に、何本もの鋭い黒い線――すなわち『吸収線（フラウンホーファー線）』が刻まれるんだ」

数馬は、コーヒーの温もりで冷えた指先を温めながら、ノートを開いた。画面に映し出されているのは、量子力学の黎明期にニールス・ボーアが提唱した「水素原子の量子モデル（ボーアの原子模型）」によって、見事に説明される離散的なエネルギーの世界の縮図であった。

数馬は、宇宙で最も単純な構造を持つ水素原子に注目した。 中心にある正の電荷を持った1個の原子核（陽子）の周りを、負の電荷を持った質量 $m$m の1個の電子が、静電気力（クーロン力）を向心力として円運動している。量子力学の規則によると、この電子はどんな半径の軌道でも自由に回れるわけではなく、電子の物質波（ドブロイ波）が軌道上で過不足なくつながって定在波を作るという「量子化条件」を満たす特定の軌道（定常状態）にしか存在できない。

主量子数を $n$n （ $n = 1, 2, 3, \dots$n=1,2,3,… の自然数）としたとき、それぞれの定常状態にある電子が持つ全エネルギー（運動エネルギーと静電気力による位置エネルギーの和） $E_n$En​ は、次のような離散的な値として一意に決定される。

$E_n = - \frac{E_0}{n^2}$En​=−n2E0​​

ここで $E_0$E0​ は、水素原子の基底状態（最もエネルギーが低い、安定した $n = 1$n=1 の状態）におけるエネルギーの絶対値を表す、正の一定な定数（リュードベリ・エネルギーに対応する量）である。主量子数 $n$n が大きくなるほど、エネルギー準位 $E_n$En​ は $0$0 に近づいて高くなっていき、電子は原子核からより離れた外側の軌道を回るようになる。

数馬がモニターで見つめていたのは、この水素原子が光（光子）を吸収して、低いエネルギー準位から高いエネルギー準位へとジャンプする「励起（れいき）」の瞬間であった。 量子力学の基本原理（アインシュタインの光量子仮説およびボーアの頻度条件）によると、光子はそれぞれ振動数 $\nu$ν に比例したエネルギー $E = h \nu$E=hν を持っている。ここで $h$h はプランク定数である。 原子の中の電子が、ある低いエネルギー準位 $E_i$Ei​ の状態から、より高いエネルギー準位 $E_f$Ef​ の状態へと遷移するとき、そのエネルギーの差分 $\Delta E = E_f - E_i$ΔE=Ef​−Ei​ と完全に一致するエネルギーを持った1個の光子だけを選択的に吸収する。すなわち、以下の関係式が厳密に成立する。

$h \nu = E_f - E_i = \left( - \frac{E_0}{f^2} \right) - \left( - \frac{E_0}{i^2} \right) = E_0 \left( \frac{1}{i^2} - \frac{1}{f^2} \right)$hν=Ef​−Ei​=(−f2E0​​)−(−i2E0​​)=E0​(i21​−f21​)

数馬の観測台帳には、今回のターゲットである水素原子の特定の遷移データが記されていた。 「星雲内の水素原子の電子は、最初、下から2番目にエネルギーが低い状態、すなわち主量子数が $i = 2$i=2 の定常状態に置かれていた。そこに赫耀からの光波が差し込んだ瞬間、電子は特定の振動数 $\nu_1$ν1​ の光子を1個だけ吸収し、主量子数が $f = 4$f=4 の高い定常状態へと瞬時に遷移した」

数馬は、この吸光現象によって分光器のスクリーン上に刻まれた、マゼンタ色の領域に浮かぶ一本の明瞭な吸収線を見つめた。 彼は、この遷移を引き起こした光子のエネルギー $E_{\mathrm{photon}} = h \nu_1$Ephoton​=hν1​ が、基底状態のエネルギーの基準値である $E_0$E0​ の何倍の大きさにあたるのか、という点に知的な興味を抱いた。彼は、光子のエネルギーと定数 $E_0$E0​ の比を表す無次元量 $X = \frac{h \nu_1}{E_0}$X=E0​hν1​​ を定義し、手元に揃った純粋な量子数の組み合わせから、その値を正確に導き出そうとした。

ドームの隙間から吹き込む夜風が、天体望遠鏡の巨体を静かに揺らしている。数馬は暗がりのなかで鉛筆を走らせ、ミクロな原子の内部で起きた電子の跳躍と、遥か何光年もの空間を旅してきた光子との間で交わされた、冷徹なエネルギーの対話をノートの上に確固たる数理として描き出していった。

さて、ここで問題である。主量子数 $i = 2$i=2 の状態にある水素原子の電子が、1個の光子を吸収して主量子数 $f = 4$f=4 の状態へと遷移した。このとき、吸収された光子のエネルギー $h \nu_1$hν1​ と、定数 $E_0$E0​ の比を表す無次元量 $X = \frac{h \nu_1}{E_0}$X=E0​hν1​​ を求めよ。ただし、求めるべき解答は、この無次元量 $X$X の値をそのまま答えるのではなく、後述の【入力形式】に従って算出される純粋な自然数である。文章中に提示されたすべての量子論的な前提条件を正しく整理し、一意に定まる正解を導き出せ。

制約

• 基底状態における水素原子のエネルギー定数：$E_0 = 2.18 \times 10^{-18} \, \mathrm{J}$E0​=2.18×10−18J
• プランク定数：$h = 6.63 \times 10^{-34} \, \mathrm{J \cdot s}$h=6.63×10−34J⋅s
• 電子の初期の主量子数：$i = 2$i=2
• 電子の遷移後の主量子数：$f = 4$f=4

入力形式

計算によって得られた、光子エネルギーの比率を表す無次元比 $X = \frac{h \nu_1}{E_0}$X=E0​hν1​​ は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （ $p, q$p,q は互いに素な自然数）として表すことができる。 このとき、値 $W = p \times q \times 16000$W=p×q×16000 を計算し、得られる1000以上100万未満の自然数を答えよ。