GNTMC001 問題6

解説

1. 重心まわりの慣性テンソル

まず、円柱の重心 $G$G の座標を求めます。 円柱の中心軸は $x=R, y=0$x=R,y=0 にあり、$z$z 方向には $0 \le z \le h$0≤z≤h の範囲に一様に分布しているため、重心 $G$G の座標は $(x_G, y_G, z_G) = (R, 0, h/2)$(xG​,yG​,zG​)=(R,0,h/2) となります。 問題の条件 $h = 4R$h=4R より、重心の座標は $G(R, 0, 2R)$G(R,0,2R) です。

重心 $G$G を原点とし、各座標軸に平行な軸を持つ並進座標系 $(x', y', z')$(x′,y′,z′) における慣性テンソル $I_G$IG​ を考えます。 一様な直円柱の重心まわりの主慣性モーメントの公式より、対称軸（$z'$z′ 軸）まわり、および対称軸に垂直な軸（$x', y'$x′,y′ 軸）まわりの慣性モーメントは以下のようになります。 $I_{G, x'x'} = I_{G, y'y'} = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{1}{12}Mh^2$IG,x′x′​=IG,y′y′​=41​MR2+121​Mh2 $I_{G, z'z'} = \frac{1}{2}MR^2$IG,z′z′​=21​MR2 ここに $h = 4R$h=4R を代入すると、 $I_{G, x'x'} = I_{G, y'y'} = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{1}{12}M(16R^2) = \left( \frac{3}{12} + \frac{16}{12} \right) MR^2 = \frac{19}{12}MR^2$IG,x′x′​=IG,y′y′​=41​MR2+121​M(16R2)=(123​+1216​)MR2=1219​MR2 また、$(x', y', z')$(x′,y′,z′) 座標系は円柱の対称軸に沿っているため、非対角成分はすべて $0$0 となります。 $I_{G, x'y'} = I_{G, y'z'} = I_{G, z'x'} = 0$IG,x′y′​=IG,y′z′​=IG,z′x′​=0

2. 平行軸の定理を用いた原点Oまわりの慣性テンソル

次に、平行軸の定理を用いて、原点 $O(0,0,0)$O(0,0,0) まわりの慣性テンソル $I_O$IO​ を求めます。 重心 $G$G の位置ベクトルは $\vec{r}_G = (R, 0, 2R)$rG​=(R,0,2R) です。テンソルの各成分について平行軸の定理を適用します。

対角成分： $I_{O, xx} = I_{G, x'x'} + M(y_G^2 + z_G^2) = \frac{19}{12}MR^2 + M(0^2 + (2R)^2) = \frac{19}{12}MR^2 + 4MR^2 = \frac{67}{12}MR^2$IO,xx​=IG,x′x′​+M(yG2​+zG2​)=1219​MR2+M(02+(2R)2)=1219​MR2+4MR2=1267​MR2 $I_{O, yy} = I_{G, y'y'} + M(x_G^2 + z_G^2) = \frac{19}{12}MR^2 + M(R^2 + (2R)^2) = \frac{19}{12}MR^2 + 5MR^2 = \frac{79}{12}MR^2$IO,yy​=IG,y′y′​+M(xG2​+zG2​)=1219​MR2+M(R2+(2R)2)=1219​MR2+5MR2=1279​MR2 $I_{O, zz} = I_{G, z'z'} + M(x_G^2 + y_G^2) = \frac{1}{2}MR^2 + M(R^2 + 0^2) = \frac{3}{2}MR^2 = \frac{18}{12}MR^2$IO,zz​=IG,z′z′​+M(xG2​+yG2​)=21​MR2+M(R2+02)=23​MR2=1218​MR2

非対角成分： $I_{O, xy} = I_{G, x'y'} - M x_G y_G = 0 - M(R)(0) = 0$IO,xy​=IG,x′y′​−MxG​yG​=0−M(R)(0)=0 $I_{O, yz} = I_{G, y'z'} - M y_G z_G = 0 - M(0)(2R) = 0$IO,yz​=IG,y′z′​−MyG​zG​=0−M(0)(2R)=0 $I_{O, zx} = I_{G, z'x'} - M z_G x_G = 0 - M(2R)(R) = -2MR^2 = -\frac{24}{12}MR^2$IO,zx​=IG,z′x′​−MzG​xG​=0−M(2R)(R)=−2MR2=−1224​MR2

以上より、原点 $O$O まわりの慣性テンソル $I_O$IO​ は行列表記で次のように表されます。 $I_O = \frac{MR^2}{12} \begin{pmatrix} 67 & 0 & -24 \\ 0 & 79 & 0 \\ -24 & 0 & 18 \end{pmatrix}$IO​=12MR2​​670−24​0790​−24018​​

3. $y$y軸まわりの慣性モーメント

原点 $O$O を通り、$y$y 軸に一致する回転軸まわりの慣性モーメント $I_C$IC​ は、慣性テンソルの成分 $I_{O, yy}$IO,yy​ に他なりません。 $I_C = \frac{79}{12}MR^2$IC​=1279​MR2 よって、これを $\frac{U}{V}MR^2$VU​MR2 と比較すると、$U=79, V=12$U=79,V=12 となります。（$79$79 と $12$12 は互いに素です）

4. $x-z$x−z平面内の主慣性モーメント

原点 $O$O を通り $x-z$x−z 平面内にある回転軸の方向単位ベクトルを $\vec{n} = (\cos\theta, 0, \sin\theta)^T$n=(cosθ,0,sinθ)T とおきます。 この回転軸まわりの慣性モーメント $I(\theta)$I(θ) は、二次形式 $I(\theta) = \vec{n}^T I_O \vec{n}$I(θ)=nTIO​n で与えられます。 $I_O$IO​ の $y$y 成分に関する非対角要素はすべて $0$0 であるため、$x-z$x−z 平面内の慣性モーメントの極値問題は、$I_O$IO​ から $y$y 成分を除外した $2 \times 2$2×2 の部分行列 $I_{xz}$Ixz​ の固有値問題に帰着します。 $I_{xz} = \frac{MR^2}{12} \begin{pmatrix} 67 & -24 \\ -24 & 18 \end{pmatrix}$Ixz​=12MR2​(67−24​−2418​)

この行列の固有値を $\lambda$λ とします。便宜上 $\lambda' = \frac{12}{MR^2} \lambda$λ′=MR212​λ とおき、次の特性方程式を解きます。 $\det \begin{pmatrix} 67 - \lambda' & -24 \\ -24 & 18 - \lambda' \end{pmatrix} = 0$det(67−λ′−24​−2418−λ′​)=0 $(67 - \lambda')(18 - \lambda') - (-24)^2 = 0$(67−λ′)(18−λ′)−(−24)2=0 $\lambda'^2 - 85\lambda' + 1206 - 576 = 0$λ′2−85λ′+1206−576=0 $\lambda'^2 - 85\lambda' + 630 = 0$λ′2−85λ′+630=0 解の公式を用いて $\lambda'$λ′ を求めます。 $\lambda' = \frac{85 \pm \sqrt{85^2 - 4 \times 630}}{2} = \frac{85 \pm \sqrt{7225 - 2520}}{2} = \frac{85 \pm \sqrt{4705}}{2}$λ′=285±852−4×630​​=285±7225−2520​​=285±4705​​ ここで $4705 = 5 \times 941$4705=5×941 であり、平方因子を持ちません。 元の固有値 $\lambda$λ に戻すと、最大値 $I_A$IA​ と最小値 $I_B$IB​ は以下となります。 $I_A = \frac{85 + \sqrt{4705}}{24} MR^2$IA​=2485+4705​​MR2 $I_B = \frac{85 - \sqrt{4705}}{24} MR^2$IB​=2485−4705​​MR2

5. パラメータの特定と最終計算

得られた式と問題の定義を比較し、各パラメータを特定します。 $\frac{P \pm \sqrt{Q}}{S} MR^2 = \frac{85 \pm \sqrt{4705}}{24} MR^2$SP±Q​​MR2=2485±4705​​MR2 $P = 85, Q = 4705, S = 24$P=85,Q=4705,S=24 となり、$85$85 と $24$24 は互いに素である条件も満たしています。

最後に、要求された値 $W$W を計算します。 $W = P \times Q + S \times U + V$W=P×Q+S×U+V $W = 85 \times 4705 + 24 \times 79 + 12$W=85×4705+24×79+12 $85 \times 4705 = 399925$85×4705=399925 $24 \times 79 = 1896$24×79=1896 $W = 399925 + 1896 + 12 = 401833$W=399925+1896+12=401833

求める最終的な自然数は 401833 です。