GNTMC001 問題5

解説

1. 開口端補正と実効長

問題文より、開口端補正 $\Delta x$Δx は以下のように計算されます。 $\Delta x = 0.6 r = 0.6 \times 0.10 = 0.06\text{ m}$Δx=0.6r=0.6×0.10=0.06 m 管Aは両端が開いている開管であるため、気柱の振動における実効長 $L_{eff,A}$Leff,A​ は両側に開口端補正が加わります。 $L_{eff,A} = L_A + 2\Delta x = L_A + 0.12\text{ m}$Leff,A​=LA​+2Δx=LA​+0.12 m 管Bは片端が閉じている閉管であるため、開口端補正は開いている後方端の片側のみに加わります。 $L_{eff,B} = L_B + \Delta x = L_B + 0.06\text{ m}$Leff,B​=LB​+Δx=LB​+0.06 m

2. 列車静止時の基本振動数

列車が静止しているとき、風の影響はありません。 管A（開管）の基本振動数 $f_{A0}$fA0​ は、半波長が実効長に等しい条件より、 $f_{A0} = \frac{V}{2 L_{eff,A}} = \frac{360}{2(L_A + 0.12)} = \frac{180}{L_A + 0.12}\text{ Hz}$fA0​=2Leff,A​V​=2(LA​+0.12)360​=LA​+0.12180​ Hz 管B（閉管）の基本振動数 $f_{B0}$fB0​ は、管内の音速が $V_B$VB​ であり、四分の一波長が実効長に等しい条件より、 $f_{B0} = \frac{V_B}{4 L_{eff,B}} = \frac{450}{4(L_B + 0.06)} = \frac{112.5}{L_B + 0.06}\text{ Hz}$fB0​=4Leff,B​VB​​=4(LB​+0.06)450​=LB​+0.06112.5​ Hz 静止時のうなりの回数が $10\text{ Hz}$10 Hz であり、管Aの音のほうが高いことから、以下の関係式が成り立ちます。 $f_{A0} - f_{B0} = 10 \quad \cdots (1)$fA0​−fB0​=10⋯(1)

3. 列車移動時の管内の共鳴条件

列車が速さ $v$v で移動しているときの各管の共鳴を考えます。

管A（開管）について： 管Aは両端が開いており、列車が前方へ速さ $v$v で進むため、管に固定された座標系から見ると、管内を後方へ向かって速さ $v$v の風が吹いていることになります。 管内で前方に進む音波の相対速さは $V - v$V−v、後方に進む音波の相対速さは $V + v$V+v となります。 音波が管の実効長 $L_{eff,A}$Leff,A​ を往復するのにかかる時間 $\tau_A$τA​ は、 $\tau_A = \frac{L_{eff,A}}{V - v} + \frac{L_{eff,A}}{V + v} = \frac{L_{eff,A} \cdot 2V}{V^2 - v^2}$τA​=V−vLeff,A​​+V+vLeff,A​​=V2−v2Leff,A​⋅2V​ 基本振動では、この往復時間が1周期に相当するため、移動中の管Aの基本振動数 $f_A$fA​ は、 $f_A = \frac{1}{\tau_A} = \frac{V^2 - v^2}{2V \cdot L_{eff,A}} = f_{A0} \frac{V^2 - v^2}{V^2}$fA​=τA​1​=2V⋅Leff,A​V2−v2​=fA0​V2V2−v2​ 与えられた定数で計算すると、$V = 360, v = 90$V=360,v=90 より $\frac{v}{V} = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}$Vv​=36090​=41​ です。 $\frac{V^2 - v^2}{V^2} = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$V2V2−v2​=1−(41​)2=1−161​=1615​ したがって、 $f_A = \frac{15}{16} f_{A0}$fA​=1615​fA0​

管B（閉管）について： 管Bは進行方向の前端が閉じられているため、内部の空気は列車と一緒に移動し、管に対する相対的な風は存在しません。したがって、管内の共鳴条件は静止時と変わらず、管Bの基本振動数 $f_B$fB​ は静止時と同じです。 $f_B = f_{B0}$fB​=fB0​

4. 外部の観測者におけるドップラー効果

各管の後方開口部から外部（静止した大気中）へ音が放射されます。 このとき、音を放射する「音源（開口部）」は、地上の観測者から見て速さ $v$v で遠ざかっています。外部の媒質（大気）は静止しており音速は $V$V であるため、遠ざかる音源によるドップラー効果の公式を適用します。

観測者が聞く管Aの音の振動数 $f'_A$fA′​ は、 $f'_A = f_A \frac{V}{V + v} = \left( f_{A0} \frac{V^2 - v^2}{V^2} \right) \frac{V}{V + v} = f_{A0} \frac{V - v}{V}$fA′​=fA​V+vV​=(fA0​V2V2−v2​)V+vV​=fA0​VV−v​ 計算すると、 $\frac{V - v}{V} = \frac{360 - 90}{360} = \frac{270}{360} = \frac{3}{4}$VV−v​=360360−90​=360270​=43​ $f'_A = \frac{3}{4} f_{A0}$fA′​=43​fA0​

観測者が聞く管Bの音の振動数 $f'_B$fB′​ は、 $f'_B = f_B \frac{V}{V + v} = f_{B0} \frac{V}{V + v}$fB′​=fB​V+vV​=fB0​V+vV​ 計算すると、 $\frac{V}{V + v} = \frac{360}{360 + 90} = \frac{360}{450} = \frac{4}{5}$V+vV​=360+90360​=450360​=54​ $f'_B = \frac{4}{5} f_{B0}$fB′​=54​fB0​

5. 連立方程式の解と管の長さの導出

列車移動時にうなりが消えたため、$f'_A = f'_B$fA′​=fB′​ が成り立ちます。 $\frac{3}{4} f_{A0} = \frac{4}{5} f_{B0}$43​fA0​=54​fB0​ $15 f_{A0} = 16 f_{B0} \implies f_{B0} = \frac{15}{16} f_{A0} = 0.9375 f_{A0}$15fA0​=16fB0​⟹fB0​=1615​fA0​=0.9375fA0​ これを式(1) $f_{A0} - f_{B0} = 10$fA0​−fB0​=10 に代入します。 $f_{A0} - \frac{15}{16} f_{A0} = 10$fA0​−1615​fA0​=10 $\frac{1}{16} f_{A0} = 10 \implies f_{A0} = 160\text{ Hz}$161​fA0​=10⟹fA0​=160 Hz これにより、管Bの基本振動数は、 $f_{B0} = 160 - 10 = 150\text{ Hz}$fB0​=160−10=150 Hz

それぞれの静止時の振動数の式から長さを逆算します。 管Aの長さ $L_A$LA​： $\frac{180}{L_A + 0.12} = 160$LA​+0.12180​=160 $L_A + 0.12 = \frac{180}{160} = \frac{9}{8} = 1.125\text{ m}$LA​+0.12=160180​=89​=1.125 m $L_A = 1.125 - 0.12 = 1.005\text{ m} = 1005\text{ mm}$LA​=1.125−0.12=1.005 m=1005 mm

管Bの長さ $L_B$LB​： $\frac{112.5}{L_B + 0.06} = 150$LB​+0.06112.5​=150 $L_B + 0.06 = \frac{112.5}{150} = \frac{3}{4} = 0.75\text{ m}$LB​+0.06=150112.5​=43​=0.75 m $L_B = 0.75 - 0.06 = 0.69\text{ m} = 690\text{ mm}$LB​=0.75−0.06=0.69 m=690 mm

6. 解答の算出

$L_A$LA​ と $L_B$LB​ のミリメートル単位での和を求めます。 $1005 + 690 = 1695$1005+690=1695 よって、入力すべき自然数は 1695 です。