GEO003 問題2

誘導起電力と回路方程式

棒1が反時計回りに角速度 $\omega$ で回転するとき、棒上の正電荷には中心 $O$ に向かうローレンツ力がはたらきます。したがって、電位が高いのは $O$ 側です。

誘導起電力の大きさは、

V=\int_0^a r\omega B\,dr =\frac{1}{2}Ba^2\omega

です。

ここで、

k=\frac{1}{2}Ba^2

とおきます。

棒1を $O$ から $P$ に進み、円環と外部のLC回路を通って $O$ に戻る向きに回路をたどります。棒1の部分では電位が $k\omega$ だけ低下します。

また、正の電流が流れると、コンデンサーの $O$ 側の極板から電荷が流れ出すため、

i=-\frac{dQ}{dt}

です。

キルヒホッフの第2法則より、

\frac{Q}{C} -L\frac{di}{dt} -k\omega =0

となります。

棒1の回転の運動方程式

電流が棒1を $O$ から $P$ に流れるとき、棒1には反時計回りの磁気トルクがはたらきます。

その大きさは、

N=\int_0^a r iB\,dr =ki

です。

棒1の慣性モーメントを、

I=\frac{1}{3}ma^2

とすると、回転の運動方程式は、

I\frac{d\omega}{dt}=ki

です。

$i=-\frac{dQ}{dt}$ を代入すると、

I\frac{d\omega}{dt} =-k\frac{dQ}{dt}

となります。

初期状態では $\omega=0$ 、 $Q=Q_0$ であるため、積分すると、

I\omega=k(Q_0-Q)

すなわち、

\omega=\frac{k}{I}(Q_0-Q)

を得ます。

電荷の単振動

$i=-\frac{dQ}{dt}$ より、

\frac{di}{dt} =-\frac{d^2Q}{dt^2}

です。

これと $\omega=\frac{k}{I}(Q_0-Q)$ を回路方程式に代入すると、

\frac{Q}{C} +L\frac{d^2Q}{dt^2} -\frac{k^2}{I}(Q_0-Q) =0

となります。

整理すると、

L\frac{d^2Q}{dt^2} +\left( \frac{1}{C}+\frac{k^2}{I} \right)Q =\frac{k^2}{I}Q_0

です。

右辺は一定であるため、 $Q$ は一定の振動中心のまわりで単振動します。その角振動数は、

\Omega_1^2 =\frac{1}{LC}+\frac{k^2}{IL}

です。

$k=\frac{1}{2}Ba^2$ および $I=\frac{1}{3}ma^2$ を代入すると、

\Omega_1^2 =\frac{1}{LC} +\frac{3B^2a^2}{4mL}

となります。

角振動数の比

棒1を固定した場合は、

\Omega_0^2=\frac{1}{LC}

です。

したがって、

\begin{aligned} R &=\frac{\Omega_1^2}{\Omega_0^2}\\ &=1+\frac{3CB^2a^2}{4m} \end{aligned}

となります。

数値を代入すると、

\begin{aligned} R &=1+ \frac{ 3\times1.00\times(0.800)^2\times(0.300)^2 }{ 4\times0.150 }\\ &=1+\frac{36}{125}\\ &=\frac{161}{125} \end{aligned}

です。

したがって、入力すべき自然数は、

p+q=161+125=\boxed{286}

GEO003 問題2

LC回路と回転導体棒の連成振動

問題文

制約

入力形式

解説

誘導起電力と回路方程式

棒1の回転の運動方程式

電荷の単振動

角振動数の比