GEO003 問題1

電流と棒の角運動量

時刻 $t$ におけるコンデンサーの $O$ 側の極板の電荷を $Q$ 、棒1を $O$ から $P$ に流れる電流を $i$ とします。

電流が $O$ 側の極板から棒1へ流れ出すため、

i=-\frac{dQ}{dt}

です。

中心から距離 $r$ にある棒の微小部分が受ける磁気力の大きさは $iB\,dr$ です。この力による点 $O$ のまわりの力のモーメントを積分すると、

N=\int_0^a r iB\,dr =\frac{1}{2}Ba^2i

となります。

ここで、

I=\frac{1}{3}ma^2, \qquad k=\frac{1}{2}Ba^2

とおくと、棒1の回転の運動方程式は、

I\frac{d\omega}{dt}=ki

です。

$i=-\frac{dQ}{dt}$ を代入すると、

I\frac{d\omega}{dt} =-k\frac{dQ}{dt}

となります。

初期状態では $\omega=0$ 、 $Q=Q_0$ であるため、時間について積分すると、

I\omega=k(Q_0-Q)

を得ます。

この関係は $L$ を含みません。自己インダクタンスは運動の時間スケールには影響しますが、同じ電荷 $Q$ における棒1の角速度には影響しません。

したがって、 $Q=Q_1$ の瞬間の角速度は、

\omega=\frac{k(Q_0-Q_1)}{I}

です。

数値を代入すると、

\begin{aligned} I &=\frac{1}{3}\times0.100\times(0.300)^2\\ &=3.00\times10^{-3}\,\mathrm{kg\,m^2}, \\[4pt] k &=\frac{1}{2}\times1.20\times(0.300)^2\\ &=5.40\times10^{-2}\,\mathrm{V\,s} \end{aligned}

より、

\omega =\frac{(5.40\times10^{-2})(0.500-0.200)} {3.00\times10^{-3}} =5.40\,\mathrm{rad/s}

となります。

指定された瞬間の存在

回路方程式は、

L\frac{di}{dt}=\frac{Q}{C}-k\omega

です。

$i=-\frac{dQ}{dt}$ および $\omega=\frac{k}{I}(Q_0-Q)$ を代入すると、

L\frac{d^2Q}{dt^2} +\left( \frac{1}{C}+\frac{k^2}{I} \right)Q =\frac{k^2}{I}Q_0

となります。

したがって、 $Q$ は、

Q_{\mathrm{eq}} = \frac{k^2/I}{1/C+k^2/I}Q_0

を中心として振動します。

数値を代入すると、

\frac{k^2}{I} = \frac{(5.40\times10^{-2})^2} {3.00\times10^{-3}} =0.972\,\mathrm{F^{-1}}

であるため、

Q_{\mathrm{eq}} = \frac{0.972}{0.500+0.972} \times0.500 \approx0.330\,\mathrm{C}

です。

初期状態では $Q=Q_0$ かつ $\frac{dQ}{dt}=0$ であるため、電荷の最小値は、

Q_{\min} =2Q_{\mathrm{eq}}-Q_0 \approx0.160\,\mathrm{C}

となります。

よって、

Q_{\min}<Q_1<Q_0

であり、 $L>0$ の値によらず、 $Q$ が初めて $Q_1$ になる瞬間は実際に存在します。

誘導起電力

棒が反時計回りに回転するとき、棒上の正電荷には中心 $O$ に向かうローレンツ力がはたらくため、電位が高いのは $O$ 側です。

誘導起電力の大きさは、

V=\int_0^a r\omega B\,dr =\frac{1}{2}Ba^2\omega =k\omega

です。

したがって、

V=(5.40\times10^{-2})\times5.40 =0.2916\,\mathrm{V}

となります。

一方、コンデンサーの電圧の大きさは、

\frac{Q_1}{C} =\frac{0.200}{2.00} =0.100\,\mathrm{V}

です。

よって、

R=\frac{0.2916}{0.100} =2.916 =\frac{729}{250}

となります。

したがって、入力すべき自然数は、

p+q=729+250=\boxed{979}

GEO003 問題1

電荷移動で加速する回転導体棒

問題文

制約

入力形式

解説

電流と棒の角運動量

指定された瞬間の存在

誘導起電力