GEO002 問題2

ホール効果で生じる横向きのつり合い

電流が流れている導体や半導体に、電流と垂直な磁場をかけると、動いているキャリアにはローレンツ力が働きます。

キャリアの電荷を $q$q、速度を $\vec{v}$v、磁場を $\vec{B}$B とすると、磁場から受ける力は

$$\vec{F}_B=q\vec{v}\times \vec{B}$$FB​=qv×B

です。

この力によってキャリアがリボンの幅方向に偏ると、左右の端に電荷がたまります。その結果、幅方向に電場が生じます。十分時間が経つと、幅方向にはそれ以上キャリアが流れなくなります。このとき、幅方向について磁気力と電気力がつり合います。

したがって、大きさだけを見れば

$$eE_H=evB$$eEH​=evB

となります。ここで $E_H$EH​ はホール電場の大きさ、$v$v はキャリアのドリフト速度の大きさです。両辺の $e$e は消えるので、

$$E_H=vB$$EH​=vB

です。

キャリアの符号を判定する

問題では、$+y$+y 側の端子の電位が $-y$−y 側より高いとされています。電場は高電位側から低電位側へ向かうので、ホール電場は $+y$+y 側から $-y$−y 側へ向かいます。

したがって、ホール電場 $\vec{E}_H$EH​ の向きは $-y$−y 方向です。

ここで、キャリアが正電荷だと仮定してみます。正電荷キャリアの場合、電流の向きとキャリアのドリフト速度の向きは同じです。よって、キャリアは $+x$+x 方向に動きます。

磁場は $+z$+z 方向なので、

$$(+x)\times(+z)=-y$$(+x)×(+z)=−y

より、正電荷キャリアが受ける磁気力は $-y$−y 方向です。

定常状態では、この磁気力と電気力が逆向きにつり合う必要があります。したがって、正電荷キャリアに働く電気力は $+y$+y 方向でなければなりません。正電荷に働く電気力は電場と同じ向きなので、この場合、電場は $+y$+y 方向であるはずです。

しかし実際のホール電場は $-y$−y 方向です。これは矛盾します。

したがって、キャリアは正電荷ではなく、負電荷です。よって

$$\epsilon=0$$ϵ=0

です。

ホール電圧から数密度を求める

ホール電圧の大きさ $V_H$VH​ は、幅 $w$w にわたる電位差なので、

$$V_H=E_Hw$$VH​=EH​w

です。

また、電流 $I$I は、キャリア数密度 $n$n、電荷の大きさ $e$e、断面積 $wd$wd、ドリフト速度 $v$v を用いて

$$I=newdv$$I=newdv

と表せます。ここで電流が通る断面積は、幅 $w$w と厚さ $d$d の積です。

この式から

$$v=\frac{I}{newd}$$v=newdI​

です。

これを

$$V_H=vBw$$VH​=vBw

に代入すると、

$$V_H=\frac{I}{newd}Bw$$VH​=newdI​Bw

となります。幅 $w$w は分子と分母で打ち消され、

$$V_H=\frac{IB}{ned}$$VH​=nedIB​

を得ます。

したがって、キャリア数密度は

$$n=\frac{IB}{edV_H}$$n=edVH​IB​

です。

数値代入

与えられた値を代入します。

$$n=\frac{(1.88\times 10^{-3})(4.00\times 10^{-1})}{(1.60\times 10^{-19})(2.00\times 10^{-4})(8.00\times 10^{-3})}$$n=(1.60×10−19)(2.00×10−4)(8.00×10−3)(1.88×10−3)(4.00×10−1)​

分子は

$$(1.88\times 10^{-3})(4.00\times 10^{-1}) =7.52\times 10^{-4}$$(1.88×10−3)(4.00×10−1)=7.52×10−4

です。

分母は

$$(1.60\times 10^{-19})(2.00\times 10^{-4})(8.00\times 10^{-3}) =2.56\times 10^{-25}$$(1.60×10−19)(2.00×10−4)(8.00×10−3)=2.56×10−25

です。

よって、

$$n=\frac{7.52\times 10^{-4}}{2.56\times 10^{-25}} =2.9375\times 10^{21}\ \mathrm{m^{-3}}$$n=2.56×10−257.52×10−4​=2.9375×1021 m−3

です。

これを $10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}$1020 m−3 を単位として表すと、

$$n=29.375\times 10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}$$n=29.375×1020 m−3

です。

また、

$$29.375=\frac{235}{8}$$29.375=8235​

なので、

$$n=\frac{235}{8}\times 10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}$$n=8235​×1020 m−3

と表されます。

したがって、

$$r=235,\quad s=8$$r=235,s=8

です。

キャリアは負電荷なので、

$$\epsilon=0$$ϵ=0

です。

入力すべき自然数は

$$10(1000r+s)+\epsilon$$10(1000r+s)+ϵ

だから、

$$10(1000\cdot 235+8)+0=2350080$$10(1000⋅235+8)+0=2350080

です。

よって、入力すべき自然数は 2350080 です。