GEO002 問題1

ホイヘンスの原理で開口を波源として見る

ホイヘンスの原理では、波面上の各点が小さな二次波源となり、その二次波が重なって次の波面を作ると考えます。

この問題では、細い開口 $A,B$A,B だけを波が通過します。そのため、開口 $A,B$A,B はそれぞれ同位相で振動する二次波源として扱えます。これは、二つの開口から出た波が観測ロープ上で重なり合う問題です。

波の振幅が最小になるのは、両方の開口から届く波が逆位相になり、互いに打ち消し合うときです。

振幅最小の条件

開口 $A$A から届く波と、開口 $B$B から届く波の経路差を $\Delta$Δ とします。

同じ波長 $\lambda$λ の波では、経路差が半波長ずれると逆位相になります。したがって、振幅が最小になる条件は

$$\Delta=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda$$Δ=(n+21​)λ

です。ここで $n$n は $0$0 以上の整数です。

原点に最も近い $y>0$y>0 の点を求めるので、最も小さい正の経路差を使えばよいです。したがって

$$\Delta=\frac{\lambda}{2}$$Δ=2λ​

です。

経路差と位置の関係

問題文で与えられている遠方近似より、観測ロープ上の座標 $y$y における経路差は

$$\Delta \simeq \frac{dy}{L}$$Δ≃Ldy​

です。

これが $\lambda/2$λ/2 に等しくなる点が、原点に最も近い振幅最小点です。よって

$$\frac{dy_0}{L}=\frac{\lambda}{2}$$Ldy0​​=2λ​

となります。

これを $y_0$y0​ について解くと

$$y_0=\frac{L\lambda}{2d}$$y0​=2dLλ​

です。

数値代入

制約の値を代入します。

$$y_0=\frac{12.0 \times 0.280}{2 \times 2.40}$$y0​=2×2.4012.0×0.280​

したがって

$$y_0=0.700 \ \mathrm{m}$$y0​=0.700 m

です。

これは、観測ロープ上で原点から $A$A 側へ $0.700 \ \mathrm{m}$0.700 m 離れた位置に、最初の振幅最小点があることを意味します。

入力値の計算

目印の間隔は

$$s=0.0250 \ \mathrm{m}$$s=0.0250 m

なので、

$$N=\frac{y_0}{s}$$N=sy0​​

に代入して

$$N=\frac{0.700}{0.0250}=28$$N=0.02500.700​=28

です。

したがって、入力すべき自然数は

$$28$$28

です。