GEO001 問題4

解説

1. 重心まわりの慣性テンソル

まず、円柱の重心 $G$G の座標を求める。 円柱の中心軸は $x=R, y=0$x=R,y=0 にあり、$z$z 方向には $0 \le z \le h$0≤z≤h の範囲に一様に分布しているため、重心 $G$G の座標は $(x_G, y_G, z_G) = (R, 0, h/2)$(xG​,yG​,zG​)=(R,0,h/2) となる。 問題の条件 $h = 2R$h=2R より、重心の座標は $G(R, 0, R)$G(R,0,R) である。

重心 $G$G を原点とし、各座標軸に平行な軸を持つ並進座標系 $(x', y', z')$(x′,y′,z′) における慣性テンソル $I_G$IG​ を考える。 一様な直円柱の重心まわりの主慣性モーメントの公式より、対称軸（$z'$z′ 軸）まわり、および対称軸に垂直な軸（$x', y'$x′,y′ 軸）まわりの慣性モーメントは以下のようになる。 $I_{G, x'x'} = I_{G, y'y'} = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{1}{12}Mh^2$IG,x′x′​=IG,y′y′​=41​MR2+121​Mh2 $I_{G, z'z'} = \frac{1}{2}MR^2$IG,z′z′​=21​MR2 ここに $h = 2R$h=2R を代入すると、 $I_{G, x'x'} = I_{G, y'y'} = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{1}{12}M(4R^2) = \left( \frac{3}{12} + \frac{4}{12} \right) MR^2 = \frac{7}{12}MR^2$IG,x′x′​=IG,y′y′​=41​MR2+121​M(4R2)=(123​+124​)MR2=127​MR2 また、$(x', y', z')$(x′,y′,z′) 座標系は円柱の対称軸に沿っているため、非対角成分はすべて $0$0 となる。 $I_{G, x'y'} = I_{G, y'z'} = I_{G, z'x'} = 0$IG,x′y′​=IG,y′z′​=IG,z′x′​=0

2. 平行軸の定理を用いた原点Oまわりの慣性テンソル

次に、平行軸の定理を用いて、原点 $O(0,0,0)$O(0,0,0) まわりの慣性テンソル $I_O$IO​ を求める。 重心 $G$G の位置ベクトルは $\vec{r}_G = (R, 0, R)$rG​=(R,0,R) である。テンソルの各成分について平行軸の定理を適用する。

対角成分： $I_{O, xx} = I_{G, x'x'} + M(y_G^2 + z_G^2) = \frac{7}{12}MR^2 + M(0^2 + R^2) = \frac{19}{12}MR^2$IO,xx​=IG,x′x′​+M(yG2​+zG2​)=127​MR2+M(02+R2)=1219​MR2 $I_{O, yy} = I_{G, y'y'} + M(x_G^2 + z_G^2) = \frac{7}{12}MR^2 + M(R^2 + R^2) = \frac{31}{12}MR^2$IO,yy​=IG,y′y′​+M(xG2​+zG2​)=127​MR2+M(R2+R2)=1231​MR2 $I_{O, zz} = I_{G, z'z'} + M(x_G^2 + y_G^2) = \frac{1}{2}MR^2 + M(R^2 + 0^2) = \frac{3}{2}MR^2 = \frac{18}{12}MR^2$IO,zz​=IG,z′z′​+M(xG2​+yG2​)=21​MR2+M(R2+02)=23​MR2=1218​MR2

非対角成分： $I_{O, xy} = I_{G, x'y'} - M x_G y_G = 0 - M(R)(0) = 0$IO,xy​=IG,x′y′​−MxG​yG​=0−M(R)(0)=0 $I_{O, yz} = I_{G, y'z'} - M y_G z_G = 0 - M(0)(R) = 0$IO,yz​=IG,y′z′​−MyG​zG​=0−M(0)(R)=0 $I_{O, zx} = I_{G, z'x'} - M z_G x_G = 0 - M(R)(R) = -MR^2 = -\frac{12}{12}MR^2$IO,zx​=IG,z′x′​−MzG​xG​=0−M(R)(R)=−MR2=−1212​MR2

以上より、原点 $O$O まわりの慣性テンソル $I_O$IO​ は行列表記で次のように表される。 $I_O = \frac{MR^2}{12} \begin{pmatrix} 19 & 0 & -12 \\ 0 & 31 & 0 \\ -12 & 0 & 18 \end{pmatrix}$IO​=12MR2​​190−12​0310​−12018​​

3. $y$y軸まわりの慣性モーメント

原点 $O$O を通り、$y$y 軸に一致する回転軸まわりの慣性モーメント $I_C$IC​ は、慣性テンソルの成分 $I_{O, yy}$IO,yy​ に他ならない。 $I_C = \frac{31}{12}MR^2$IC​=1231​MR2 よって、これを $\frac{U}{V}MR^2$VU​MR2 と比較すると、$U=31, V=12$U=31,V=12 となる。（31と12は互いに素である）

4. $x-z$x−z平面内の主慣性モーメント

原点 $O$O を通り $x-z$x−z 平面内にある回転軸の方向単位ベクトルを $\vec{n} = (\cos\theta, 0, \sin\theta)^T$n=(cosθ,0,sinθ)T とおく。 この回転軸まわりの慣性モーメント $I(\theta)$I(θ) は、二次形式 $I(\theta) = \vec{n}^T I_O \vec{n}$I(θ)=nTIO​n で与えられる。 $I_O$IO​ の $y$y 成分に関する非対角要素はすべて $0$0 であるため、$x-z$x−z 平面内の慣性モーメントの極値問題は、$I_O$IO​ から $y$y 成分を除外した $2 \times 2$2×2 の部分行列 $I_{xz}$Ixz​ の固有値問題に帰着する。 $I_{xz} = \frac{MR^2}{12} \begin{pmatrix} 19 & -12 \\ -12 & 18 \end{pmatrix}$Ixz​=12MR2​(19−12​−1218​)

この行列の固有値を $\lambda$λ とする。便宜上 $\lambda' = \frac{12}{MR^2} \lambda$λ′=MR212​λ とおき、次の特性方程式を解く。 $\det \begin{pmatrix} 19 - \lambda' & -12 \\ -12 & 18 - \lambda' \end{pmatrix} = 0$det(19−λ′−12​−1218−λ′​)=0 $(19 - \lambda')(18 - \lambda') - (-12)^2 = 0$(19−λ′)(18−λ′)−(−12)2=0 $\lambda'^2 - 37\lambda' + 342 - 144 = 0$λ′2−37λ′+342−144=0 $\lambda'^2 - 37\lambda' + 198 = 0$λ′2−37λ′+198=0 解の公式を用いて $\lambda'$λ′ を求める。 $\lambda' = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4 \times 198}}{2} = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 792}}{2} = \frac{37 \pm \sqrt{577}}{2}$λ′=237±372−4×198​​=237±1369−792​​=237±577​​ ここで $577$577 は素数であり、平方因子を持たない。 元の固有値 $\lambda$λ に戻すと、最大値 $I_A$IA​ と最小値 $I_B$IB​ は以下となる。 $I_A = \frac{37 + \sqrt{577}}{24} MR^2$IA​=2437+577​​MR2 $I_B = \frac{37 - \sqrt{577}}{24} MR^2$IB​=2437−577​​MR2

5. パラメータの特定と最終計算

得られた式と問題の定義を比較し、各パラメータを特定する。 $\frac{P \pm \sqrt{Q}}{S} MR^2 = \frac{37 \pm \sqrt{577}}{24} MR^2$SP±Q​​MR2=2437±577​​MR2 $P = 37, Q = 577, S = 24$P=37,Q=577,S=24 となり、$37$37 と $24$24 は互いに素である条件も満たしている。

最後に、要求された値 $W$W を計算する。 $W = P \times Q + S \times U + V$W=P×Q+S×U+V $W = 37 \times 577 + 24 \times 31 + 12$W=37×577+24×31+12 $37 \times 577 = 21349$37×577=21349 $24 \times 31 = 744$24×31=744 $W = 21349 + 744 + 12 = 22105$W=21349+744+12=22105

求める最終的な自然数は 22105 である。