GEO001 問題3

解説

1. 開口端補正と実効長

問題文より、開口端補正 $\Delta x$Δx は以下のように計算される。 $\Delta x = 0.6 r = 0.6 \times 0.05 = 0.03\text{ m}$Δx=0.6r=0.6×0.05=0.03 m 管Aは両端が開いている開管であるため、気柱の振動における実効長 $L_{eff,A}$Leff,A​ は両側に開口端補正が加わる。 $L_{eff,A} = L_A + 2\Delta x = L_A + 0.06\text{ m}$Leff,A​=LA​+2Δx=LA​+0.06 m 管Bは片端が閉じている閉管であるため、開口端補正は開いている後方端の片側のみに加わる。 $L_{eff,B} = L_B + \Delta x = L_B + 0.03\text{ m}$Leff,B​=LB​+Δx=LB​+0.03 m

2. 列車静止時の基本振動数

列車が静止しているとき、風の影響はない。 管A（開管）の基本振動数 $f_{A0}$fA0​ は、半波長が実効長に等しい条件より、 $f_{A0} = \frac{V}{2 L_{eff,A}} = \frac{360}{2(L_A + 0.06)} = \frac{180}{L_A + 0.06}\text{ Hz}$fA0​=2Leff,A​V​=2(LA​+0.06)360​=LA​+0.06180​ Hz 管B（閉管）の基本振動数 $f_{B0}$fB0​ は、管内の音速が $V_B$VB​ であり、四分の一波長が実効長に等しい条件より、 $f_{B0} = \frac{V_B}{4 L_{eff,B}} = \frac{432}{4(L_B + 0.03)} = \frac{108}{L_B + 0.03}\text{ Hz}$fB0​=4Leff,B​VB​​=4(LB​+0.03)432​=LB​+0.03108​ Hz 静止時のうなりの回数が $5\text{ Hz}$5 Hz であり、管Aの音のほうが高いことから、以下の関係式が成り立つ。 $f_{A0} - f_{B0} = 5 \quad \cdots (1)$fA0​−fB0​=5⋯(1)

3. 列車移動時の管内の共鳴条件

列車が速さ $v$v で移動しているときの各管の共鳴を考える。

管A（開管）について： 管Aは両端が開いており、列車が前方へ速さ $v$v で進むため、管に固定された座標系から見ると、管内を後方へ向かって速さ $v$v の風が吹いていることになる。 管内で前方に進む音波の相対速さは $V - v$V−v、後方に進む音波の相対速さは $V + v$V+v となる。 音波が管の実効長 $L_{eff,A}$Leff,A​ を往復するのにかかる時間 $\tau_A$τA​ は、 $\tau_A = \frac{L_{eff,A}}{V - v} + \frac{L_{eff,A}}{V + v} = \frac{L_{eff,A} \cdot 2V}{V^2 - v^2}$τA​=V−vLeff,A​​+V+vLeff,A​​=V2−v2Leff,A​⋅2V​ 基本振動では、この往復時間が1周期に相当するため、移動中の管Aの基本振動数 $f_A$fA​ は、 $f_A = \frac{1}{\tau_A} = \frac{V^2 - v^2}{2V \cdot L_{eff,A}} = f_{A0} \frac{V^2 - v^2}{V^2}$fA​=τA​1​=2V⋅Leff,A​V2−v2​=fA0​V2V2−v2​ 値を与えられた定数で計算すると、$V = 360, v = 72$V=360,v=72 より $\frac{v}{V} = \frac{72}{360} = \frac{1}{5}$Vv​=36072​=51​。 $\frac{V^2 - v^2}{V^2} = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$V2V2−v2​=1−(51​)2=1−251​=2524​ したがって、 $f_A = \frac{24}{25} f_{A0}$fA​=2524​fA0​

管B（閉管）について： 管Bは進行方向の前端が閉じられているため、内部の空気は列車と一緒に移動し、管に対する相対的な風は存在しない。したがって、管内の共鳴条件は静止時と変わらず、管Bの基本振動数 $f_B$fB​ は静止時と同じである。 $f_B = f_{B0}$fB​=fB0​

4. 外部の観測者におけるドップラー効果

各管の後方開口部から外部（静止した大気中）へ音が放射される。 このとき、音を放射する「音源（開口部）」は、地上の観測者から見て速さ $v$v で遠ざかっている。外部の媒質（大気）は静止しており音速は $V$V であるため、遠ざかる音源によるドップラー効果の公式を適用する。

観測者が聞く管Aの音の振動数 $f'_A$fA′​ は、 $f'_A = f_A \frac{V}{V + v} = \left( f_{A0} \frac{V^2 - v^2}{V^2} \right) \frac{V}{V + v} = f_{A0} \frac{V - v}{V}$fA′​=fA​V+vV​=(fA0​V2V2−v2​)V+vV​=fA0​VV−v​ 計算すると、 $\frac{V - v}{V} = \frac{360 - 72}{360} = \frac{288}{360} = \frac{4}{5}$VV−v​=360360−72​=360288​=54​ $f'_A = \frac{4}{5} f_{A0}$fA′​=54​fA0​

観測者が聞く管Bの音の振動数 $f'_B$fB′​ は、 $f'_B = f_B \frac{V}{V + v} = f_{B0} \frac{V}{V + v}$fB′​=fB​V+vV​=fB0​V+vV​ 計算すると、 $\frac{V}{V + v} = \frac{360}{360 + 72} = \frac{360}{432} = \frac{5}{6}$V+vV​=360+72360​=432360​=65​ $f'_B = \frac{5}{6} f_{B0}$fB′​=65​fB0​

5. 連立方程式の解と管の長さの導出

列車移動時にうなりが消えたため、$f'_A = f'_B$fA′​=fB′​ が成り立つ。 $\frac{4}{5} f_{A0} = \frac{5}{6} f_{B0}$54​fA0​=65​fB0​ $24 f_{A0} = 25 f_{B0} \implies f_{B0} = \frac{24}{25} f_{A0} = 0.96 f_{A0}$24fA0​=25fB0​⟹fB0​=2524​fA0​=0.96fA0​ これを式(1) $f_{A0} - f_{B0} = 5$fA0​−fB0​=5 に代入する。 $f_{A0} - 0.96 f_{A0} = 5$fA0​−0.96fA0​=5 $0.04 f_{A0} = 5 \implies f_{A0} = \frac{5}{0.04} = 125\text{ Hz}$0.04fA0​=5⟹fA0​=0.045​=125 Hz これにより、管Bの基本振動数は、 $f_{B0} = 125 - 5 = 120\text{ Hz}$fB0​=125−5=120 Hz

それぞれの静止時の振動数の式から長さを逆算する。 管Aの長さ $L_A$LA​： $\frac{180}{L_A + 0.06} = 125$LA​+0.06180​=125 $L_A + 0.06 = \frac{180}{125} = \frac{36}{25} = 1.44\text{ m}$LA​+0.06=125180​=2536​=1.44 m $L_A = 1.44 - 0.06 = 1.38\text{ m} = 1380\text{ mm}$LA​=1.44−0.06=1.38 m=1380 mm

管Bの長さ $L_B$LB​： $\frac{108}{L_B + 0.03} = 120$LB​+0.03108​=120 $L_B + 0.03 = \frac{108}{120} = \frac{9}{10} = 0.90\text{ m}$LB​+0.03=120108​=109​=0.90 m $L_B = 0.90 - 0.03 = 0.87\text{ m} = 870\text{ mm}$LB​=0.90−0.03=0.87 m=870 mm

6. 解答の算出

$L_A$LA​ と $L_B$LB​ のミリメートル単位での和を求める。 $1380 + 870 = 2250$1380+870=2250 よって、入力すべき自然数は 2250 である。