GBO004 問題6

回路全体の合成抵抗と流れる電流

抵抗 $\mathrm{A}$A と抵抗 $\mathrm{B}$B は直列に接続されているため、回路全体の合成抵抗 $R$R は各抵抗の和になります。

$$R=R_1+R_2$$R=R1​+R2​

電源の起電力が $V$V であり、内部抵抗は無視できるため、オームの法則より回路全体を流れる電流 $I$I は次のように求まります。

$$I=\frac{V}{R}=\frac{V}{R_1+R_2}$$I=RV​=R1​+R2​V​

抵抗Aで消費される電力

直列回路であるため、抵抗 $\mathrm{A}$A にも電流 $I$I がそのまま流れます。抵抗値 $R_1$R1​ の抵抗 $\mathrm{A}$A で消費される電力 $P_1$P1​ は、ジュールの法則より次のように表されます。

$$P_1=I^2R_1=\left(\frac{V}{R_1+R_2}\right)^2R_1=\frac{V^2R_1}{(R_1+R_2)^2}$$P1​=I2R1​=(R1​+R2​V​)2R1​=(R1​+R2​)2V2R1​​

数値の代入と計算

与えられた制約の値を代入します。

$$R=6.00\,\Omega+4.00\,\Omega=10.0\,\Omega$$R=6.00Ω+4.00Ω=10.0Ω $$I=\frac{9.00\,\mathrm{V}}{10.0\,\Omega}=0.900\,\mathrm{A}$$I=10.0Ω9.00V​=0.900A $$P_1=(0.900\,\mathrm{A})^2\times6.00\,\Omega=0.810\times6.00\,\mathrm{W}=4.86\,\mathrm{W}$$P1​=(0.900A)2×6.00Ω=0.810×6.00W=4.86W

入力値の決定

得られた電力 $P_1=4.86\,\mathrm{W}$P1​=4.86W を $\mathrm{W}$W を単位として既約分数で表します。

$$4.86=\frac{486}{100}=\frac{243}{50}$$4.86=100486​=50243​

$243=3^5$243=35 であり、$50=2\times5^2$50=2×52 であるため、$243$243 と $50$50 は互いに素な自然数です。したがって、$p=243$p=243、$q=50$q=50 となります。

求める値は $p+q$p+q です。

$$p+q=243+50=293$$p+q=243+50=293

最終的に入力すべき自然数は 293 です。