GBO004 問題2

方針

圧力は、単位面積あたりに垂直に加わる力です。

$$p=\frac{F}{S}$$p=SF​

今回は $n$n 本の釘がすべて風船に接触しているため、接触面積の合計を考えます。

釘1本の接触面積は $S$S なので、接触面積の合計は $nS$nS です。

したがって、平均圧力は次の式で求められます。

$$p=\frac{F}{nS}$$p=nSF​

計算

まず、釘1本の接触面積を $\mathrm{m^2}$m2 に変換します。

$1\,\mathrm{mm^2}=10^{-6}\,\mathrm{m^2}$1mm2=10−6m2 より、

$$\begin{aligned} S&=0.02\times10^{-6}\\ &=2\times10^{-8}\,\mathrm{m^2} \end{aligned}$$S​=0.02×10−6=2×10−8m2​

100本の釘の接触面積の合計は、

$$\begin{aligned} nS&=100\times2\times10^{-8}\\ &=2\times10^{-6}\,\mathrm{m^2} \end{aligned}$$nS​=100×2×10−8=2×10−6m2​

よって、平均圧力は、

$$\begin{aligned} p&=\frac{15}{2\times10^{-6}}\\ &=7500000\,\mathrm{N/m^2}\\ &=7500000\,\mathrm{Pa} \end{aligned}$$p​=2×10−615​=7500000N/m2=7500000Pa​

ここで、

$$1\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{N/m^2}$$1Pa=1N/m2

です。

入力形式に従って $1000$1000 で割ると、

$$\frac{7500000}{1000}=7500$$10007500000​=7500

したがって、入力する自然数は、

$$\boxed{7500}$$7500​

です。

物理的な意味

同じ大きさの力でも、接触面積が大きいほど平均圧力は小さくなります。

例えば、釘の本数を100本から200本に増やし、すべての釘が接触して力を均等に受けるなら、接触面積の合計は2倍となり、平均圧力は半分になります。

このように、釘を増やすことで、釘1本あたりにかかる力を小さくできます。

ただし、実際に風船が割れるかどうかは、膜の変形や釘の先端形状などにも左右されるため、平均圧力だけでは判断できません。